构造等腰三角形，证明几何问题

方海国

摘要：解几何题时，若遇到角平分线、线段的垂直平分线、倍角三角形等问题，可巧妙构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够迅速找到解题方法，使问题化难为易，迎刃而解.本文举例说明构造等腰三角形解几何问题.

关键词：线段;等腰三角形;性质

1 构造等腰三角形证两线段相等

例1 如图1所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD上CD于点D，DE //AB交BC于点E.

求证：BE= CE[l].

分析 由BD是角平分线和垂线联想到等腰三角形，为此需要分别延长BA和CD，设它们相交于点F，则△BCF是等腰三角形，故点D为CF的中点.又DE//AB，所以BE= CE.

2 构造等腰三角形证两线段不相等

例2 如图2所示，△ABC中.AB >AC，AD平分∠A交BC于点D.

求证：BD> DC.

分析 如果能将BD和CD转移到同一个三角形中，则可用边角关系来证，为此可延长AC到点E，使AE =AB，连BE交AD的延长线于点F，则由等腰三角形“三线合一”的性质可知AF垂直平分BE，连结DE，则 BD= DE.

又因为∠1=∠2，而∠3>1，故∠3>∠2，从而DE> DC.因此BD >DC.

3 构造等腰三角形证线段的倍分关系

例3 如图3所示，BD平分∠ABC，BD⊥CD于点D，BE= DE.求证：BC =3AB，

分析 因为BD既是角平分线又是垂线，所以可考虑构造等腰三角形来证明，延长CD交BA的延长线于点F，则BF= BC.

过D作DG //AE交BF于点G，因点D是CF的中点，所以AG =FG.又因为E是BD的中点，即AB=AG，因而BF =3AB，从而得到BC= 3AB.

4 构造等腰三角形证两线段垂直

例4 如图4所示，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD =90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点.

求证：EF⊥AC.

分析欲证EF⊥AC，因为点E为AC的中点，即证EF是AC的中垂线，为此可考虑构造等腰三角形来证，

连结AF和CF，由题设知△AFC是等腰三角形，由其“三线合一”的性质可得EF⊥AC，

5 构造等腰三角形证线段的等积关系

例5如图5所示，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂线EF交CB的延长线于点F.

求证：DF²= BF·CF.

分析 线段的等积关系一般用相似三角形证明.因为求证式中的三条线段共线，故应将其中某些线段进行代换，注意到EF垂直平分AD，则连AF可得等腰△FDA，且DF= AF，如果AF代DF，即證AF²= BF·CF，即证AF/BF=CF/AF.为此只需证△AFB∽△CFA.

此时可由∠AFB公用和∠ABF= ∠ABF+1/2∠BAC=∠DAF+1/2∠BAC=∠CAF从而得证.

6 构造等腰三角形证线段和差关系

例6 如图6所示，点D为△ABC的BC边的中点，PD ⊥DQ于点D，点P、Q分别在AB、AC上，连PQ.

求证：PB+ QC> PQ.

分析 乍一看此题似无从下手，因为求证式中的三条线段分散于图形之中，关系并不明显[2]，仔细观察则豁然开朗，因为由题设可将三条线段集中在一个图形中，延长QD到点E，使DE =DQ，连结PE、BE，则△PEQ是等腰三角形，故PQ=PE.易证△BDE≌△CDQ，则QC= BE.

在△PBE中，PB+ BE> PE，因此PB +QC>PQ.

7 构造等腰三角形证明两个角相等

例7 如图7，四边形ABCD中，AB= CD，点E、F分别是AD、BC中点，BA、CD延长线分别交FE的延长线于点M、N.求证：∠AME= ∠DNE.

分析 如果能将∠AME和∠DNE转化为等腰三角形的两底角，则问题就能马上解决.从题中“等线段”和“中点”两个条件可以看出，这种转化能实现

连结BD并取中点G，连结EG、FG.则△GEF是等腰三角形.

故∠1=∠2.再由GE //BM，GF //CN即可获证，

8 构造等腰三角形证角的倍分关系

例8 如图8，平行四边形ABCD中，AB= 2AD，过点B作DA的延长线的垂线，垂足为E.设点F为CD的中点.

求证：∠EFC =3 ∠DEF.

分析过点F作FG //DE分别交AB、EB于点日、G，则∠1=∠2.

连结BF，由DF= CF，得EG =BG.

又BE⊥DE，所以FG⊥BG.

即△FEB是等腰三角形.

从而∠2= ∠3，易证四边形BCFH是菱形.

故∠3= ∠4.从而∠EFC =3 ∠DEF.

9 构造等腰三角形证角的和差关系

例9 如图9，△ABC中，BD平分∠ABC，AE ⊥BD于点E.求证：∠BAE= ∠C+ ∠DAE.

分析 由题设可知，延长AE交BC于点F，△ABF是等腰三角形，则∠AF= ∠BFA.再根据三角形的外角定理即可获证.

总之，当图形有角平分线、垂线等条件时，可考虑构造等腰三角形使问题化繁为简，寻找解题捷径[2].

参考文献：

[1]魏祥勤.一类与函数图像有关的问题探究[J].中学数学教学参考，2016（6）：66 -68.

[2]庄彩丹.构建等腰三角形的三种思路[J].读书文摘2016（06）：125.