三道疑难习题的错误分析与正确解答

左名魁++陈林桥++季祥

摘 要：在调研过程中，发现我们的教师对一些疑难问题还没有真正搞清，以至于在习题教学过程感到犯难。本文摘其几个典型问题作一解答，以期帮助老师们搞好习题教学和提高对试题的认识。

关键词：习题教学；疑难问题；解答

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）2-0038-3

在调研过程中，发现我们的教师在解答、评讲和处理一些试题时显得力不从心，甚至一些杂志在刊登这些试题解答时也出现了一些失误。造成这样的原因可能是试题的问题，也可能是我们教师的问题。下面就一些典型的疑难问题加以解答，以便大家一起商讨。

1 关于图像中圆面积的问题

例1 如图1所示为某质点运动的v-t图像，2～4 s内图线为半圆形，若4 s末质点回到了出发点，则下列说法正确的是（ ）

图1 某质点运动的v-t图像

A.1～2 s内质点的加速度大小为8 m/s2

B.2～4 s内质点的位移大小为8 m

C.3 s末质点的加速度等于零

D.3 s末质点的速度大小为8 m/s

解答这道选择题的难点是根据图像求解3 s末质点的速度大小，这要涉及到正确求解t轴下半圆形的面积问题。

错解1 设3 s末质点的速度为v3，图线“面积”表示位移。由于质点在4 s末质点回到了出发点，因此，半圆的面积和三角形的面积相等。所以，有 πv =8，解得 v3= m/s。

错解2 既然图线“面积”表示位移，那么，不难求出2 s内的位移即三角形面积为8。同理可得，半圆形的面积为 π×1×v3= πv3，解得v3= m/s。

分析 错解1是根据圆面积公式s=πr2，r=v3，于是得到半圆的面积为 πv 。错解2其实也是从圆面积公式s=πr2出发，只是在r的取值上效仿了前面求三角形面积的方法，一个r取值为1，一个r取值为v3。这种做法似乎理由不甚明朗，进而认为半圆的面积应为 πv 。

正解1 设横轴单位标度的实际几何长度为m，纵轴单位标度的实际几何长度为n，3 s末质点的速度大小为v3。那么，在v-t坐标系中，半圆形的圆坐标方程为：（tm-3m）2+（vn）2=m2或者（tm-3m）2+（vn）2=（nv3）2

于是得到：

（t-3）2+ =1（1）

或 + =1 （2）

在v-t坐标系中，以上两个方程均为椭圆方程。因此，半圆形的面积所表示的位移大小应为这样的椭圆面积的一半。而椭圆的面积计算公式s=πab。其中，a表示半长轴，b表示半短轴。

因此，对于（1）式，半圆形的面积所表示的位移大小为s2= π×1× = 。再依题意半圆半径几何长度r=m=nv3 ， 所以，得到s2= 。

我们知道三角形面积表示位移大小为s1= ×2×8=8，所以，v3= m/s。

对于（2）式，半圆形的面积所表示的位移大小为s2= π× ×v3= ，半圆半径几何长度r=m=nv3。所以，也得到s2= ，同样得到v3= m/s。

以上解法是从v-t图像围成的面积表示位移这个意义上去求解的，其实还可以从两图形的实际几何面积相等这一角度去求解则更为简单。

正解2 由题意可知，质点的总位移为0。因此，三角形和半圆形的实际几何面积应相等。

t轴上方三角形的实际几何面积为 ×2m×8n； t轴下方半圆形的实际几何面积为 πr2。

由于圆的半径几何长度r=m=v3n，因此，在此r2可以这样处理：一个r取值m，一个r取值为nv3，所以，得到 ×2m×8n= π×m×（v3n），

解得：v3= m/s。

2 关于平行板电容器两板之间的静电力问题

例2 如图2所示，一对面积较大的平行板电容器水平放置，带等量异种电荷，B板固定且接地，A板用绝缘线悬挂，P为两板中点。下列结论正确的是（ ）

A.若在两板间充满电介质，P点电势将升高

B.A、B两板电荷分别在P点产生电场的场强大小相等，方向相同

C.若将A板竖直向下平移一小段距离，电容器储存的电能减小

D.若将A板竖直向上平移一小段距离，线的拉力将变小

图2 平行板电容器间的静电力

这道题错的比较多的是D选项关于线的拉力大小变化的问题。

错解1 根据库仑定律：F=k ，由于板间的距离变大，因此，板间的静电力变小，线的拉力也变小。

其实，这种解法忽视了库仑定律应用的条件。因为这个公式只适用于真空中的点电荷，而这道题中两个带电板，面积比较大，是不能看成点电荷的，所以就不能这样来讨论问题。

错解2 平行板间的电容C= ，板间的电压U= ，板间电场强度E= 。因此，得到E= ，由于电量不变，即使板间的距离d变化，板间电场强度E也不变，再根据F=QE。

所以，下板对上板的静电力不变。因此，线的作用力不变。

其实，以上解法也有问题，错就错在上述解答中公式F=QE中E的理解，错解2认为E是+Q和-Q板产生的合电场。甚至有些教师运用高斯定理，求出-Q板产生的电场强度为E= 来讨论。其实，这也是两板电荷的叠加的电场强度，而不是-Q板在+Q处产生的电场强度大小。

正解 如图3所示，实线表示+Q的电场线，虚线表示-Q电场线，由高斯定理求出上下带电板单独存在时所产生的电场强度大小为E+=E-= 。因此，板间电场强度为E=E++E-= ，两板外侧的电场强度为0。

所以，下板-Q在上板+Q处产生的电场强度大小应为E-= ，上板受到的电场力的大小为F=QE-= ，与板间距离无关，选项D错。

图3 平行板电容器的电场分布

3 关于感生电压问题

例3 如图4所示电路，右边是一个半径r0=10 cm的导体圆，其中磁场的变化率 =20 T/s，左边的电阻R为2 Ω，试问CD之间的电压约为多少？

图4 变化的磁场产生感生电动势

错解 根据法拉第电磁感应定律：E电动势= ，得到E电动势= =0.1π。因此，可以画出它的等效电路（如图5所示）。再根据闭合电路欧姆定律，得到CD之间的电压为U=0.1π。

图5 感生电动势构成的闭合电路

其实，以上做法不正确。根据麦克斯韦方程，

v× =- ，

变化的磁场产生螺旋电场，是螺旋电场推动电路中电荷定向运动产生电流，而不是右边的导体圆所产生的电压在左边电路中所产生的电场来推动电荷做定向运动而形成电流的。所以，以上的解法有问题。

正确 根据 · l=- ，解得距离磁场中心为r处的电场强度大小为E= ，如图6所示。

图6 变化的磁场产生螺旋电场

因此，du=Ecosα·dl，在图6中，不难得到dl·cosα≈rdθ

于是解得：du= dθ，

所以，UDC= θ，

如果取θ= ，则UDC= θ= 。

参考文献：

[1]梁冰.圆形磁场中的一个重要结论及应用[J].物理教学探讨，2010，（5）：40.

[2]王新建.例谈巧用v-t图像求解物理问题[J].物理教学探讨，2009，（8）：23.

（栏目编辑 罗琬华）