锐角三角函数中蕴涵的数学思想方法分析及对教学的启示

姜萍

【摘要】 当前数学教学中普遍存在这样一个现象：急于把概念、公式、法则、定理等知识传授给学生，然后按照考试要求进行练习，从而忽视了知识形成的过程.数学思想方法相较于知识点本身更富有生命的味道.作为教师，不仅要教给学生数学知识，更重要的是带领学生体会这些知识背后的思想方法，重视让学生经历知识形成的过程.本文以“锐角三角函数”这一课题为例，通过分析教材，包括所包含的知识点以及所蕴含的数学思想方法，得出这些思想方法对数学教学的启示.

【关键词】 数学思想方法;数学教学;锐角三角函数

日本数学和数学教育家米山国藏说过这样一段话：“对学生而言，作为知识的数学，通常是出校门以后不到一两年很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学精神、思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，让他们受益终生.”所以对大多数学生来说，数学思想方法比形式化的数学知识更为重要.

一、数学思想方法

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具.它是“思维的实验过程”，是數学真理的抽象概括过程，其最重要的特点就是不断地提出问题，不断地解决问题.

数学思想方法是对数学事实、概念、原理和方法的本质和规律的认识.它是从某些具体的数学内容和对数学知识的认识过程中抽象、概括、提炼出来的数学观点.它不是显现的，而是渗透在数学知识里，所以需要教师透过具体的数学知识挖掘其背后的数学思想方法.

二、数学思想方法是课程理念和目标的核心

把数学思想方法的教学放在了数学教学的突出位置.强调数学课程的基础性，力求保证学生掌握基本数学思想，基础知识，基本技能和能力，形成对数学价值比较全面的认识.《义务教育阶数学课程标准》中对数学思想方法提出了明确的要求：“学生能够活得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能.”《义务教育阶数学课程标准》在理念部分也提出：“数学课程要讲推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法.”

三、教材分析

锐角三角函数是人教版义务教育教科书九年级下册第二十八章第一节的内容.本章在前面已经研究了直角三角形中三边间关系、两个锐角之间关系的基础上，进一步研究其边角的关系.本章内容与“相似三角形”“全等三角形”“勾股定理”等内容联系紧密.通过本章的学习，使学生全面掌握直角三角形的组成要素（边、角）之间的关系，并综合运用已有知识解决与直角三角形有关的度量问题，进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模能力，同时为高中数学中任意角三角函数等知识的学习做准备.

“锐角三角函数”是《义务教育数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容.是在学生已学了一次函数、反比例函数和二次函数的基础上进行的，它反映的是角度与数值之间的对应关系.这部分内容包括锐角三角函数的概念，以及利用锐角三角函数解直角三角形的内容.锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会.

（一）锐角三角函数包含的知识点

（二）教学目标分析

1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），能够应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比;知道30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角.

2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.

3.理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用.

（三）任意角的三角函数课题中蕴涵的数学思想方法

1.归纳推理

归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法.归纳推理往往是在人们实践经验的基础上得出结论的，如通过观察、实验、比较、分析、综合，形成对思维对象的共性认识，最后归纳结论.归纳法有助于发现并提出问题，进行大胆猜想，数学世上有很多著名的问题都是这样提出来的，比如，哥德巴赫猜想、费马猜想等.教材中以意大利比萨斜塔的倾斜程度的实际问题引出对直角三角形中边角关系的讨论，在教学中教师可以引导学生对三角形边角关系进行猜想，并通过自主探究证明猜想.在证明的过程中让学生充分经历“研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——给出锐角的正弦概念”的过程.

在直角三角形中，通过讨论锐角30°和45°与其所对的直角边与斜边的比之间的对应关系，学生很容易形成猜想：一个锐角的对边与斜边的比值是定值.当学生出现这样的猜想时，教师要进一步引导学生探究——如果是一般三角形会不会也能得到这样的结论？教师可启发学生自主画图、测量计算，把特殊角转换成一个任意的锐角.

教学片段：（1）猜想验证，得出结论.由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，SymbolPC@C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 2 ;当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于  2  2 ，由此你能猜想出什么一般的结论呢？教师引导学生思考、交流并用准确的语言归纳猜想.随后，教师在几何画板上演示、验证猜想的特殊情形.

（2）证明猜想，形成概念.教师引导学生将猜想“在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.”用数学语言表示并画图，引导学生找到证明猜想的方法.（在刚刚经历自主画图、测量并计算等自主探究的活动，学生很容易想到利用相似三角形来证明猜想的正确性，可以让学生讲述证明过程）

在此基础上，教师和学生共同总结出正弦的定义：Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记做sinA，即sinA= ∠A的对边 斜边 = a c .

2.数形结合

数学是围绕数量关系和空间关系的研究展开的，数和形是它的两个侧面.它们之间可以相互转换，而数形结合的方法就是把数与形联系起来，它最大的特点就是能把抽象的内容直观的用图形表现出来.锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系，因此，本章内容是体现数形结合很好的载体.例如，对锐角三角函数的概念，教材利用学生对直角三角形的认识以及相似三角形的有关知识引入，结合几何图形定义三角函数，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质.再比如，将实际问题抽象成数学问题时，也离不开几何图形，通过分析得到边、角的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决.因此，在教学中，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论证、解决实际问题时，画图帮助分析.

如教材74页的例3：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行.如图所示，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400 km，结果取整数）？

本题根据题意画出示意图，将抽象的实际问题变得具体，通过几何图形帮助学生找到直角三角形边、角的关系.分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点.如图所示，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点的长就是地面上P，Q两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即α）的度数.

3.模型思想

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、數量关系和空间形式的一种数学结构.从广义的角度讲，数学的概念、定理、规律、法则数量关系式、图形、图表等都是数学模型.数学建模是一个比较复杂且富有挑战性的过程，大致有以下几个步骤：（1）理解问题的实际背景，明确要解决的问题.（2）分析和简化复杂的情境，并确定必要的数据.（3）建立模型，可以是数量关系，也可以是图形.（4）解答问题.

对大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型.例如，第28.2.2的例3以“神舟”九号载人航天飞船与天宫一号交会对接为例，求能看到地球表面最远点与地球表面P点之间的距离，第28.2.2的例5的航海问题，求图中B处距离灯塔P有多远，77页练习1的触礁问题，都是将实际问题转化为数学问题，让学生在活动中体验数学模型思想和数学建模过程.去除掉复杂的情境，分析所给出的条件和数据，确定将问题转化为一般的解直角三角形，即用锐角三角函数求直角三角形一边的长度.

四、结论与思考

（一）渗透数学思想方法重在对教材的分析

数学思想方法是蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程，如果说数学知识是一个人的骨架的话，数学思想方法就是让这个人有生命力的血肉.所以，教师在教学过程中首先要分析好、分析透教材，才能拥有一双慧眼，从零零散散的知识点背后挖掘更深层次的数学思想方法，并且透过这些思想方法将这些知识点串联起来.

（二）系统了解数学思想方法在教学内容中的分布

教师应该系统了解数学思想方法在中学各阶段、各章节中的分布.在教学的每一个环节，如概念讲解、定理证明、例题解答，都蕴含着大量的数学思想方法.只有做到心中有数，才能充分地结合具体的知识渗透数学思想方法.

（三）在例题教学过程中增强数学思想方法的指导

例题教学重在分析，教师在进行例题讲解的过程中，应该引导学生分析该题所包含的思想方法，并且用这种思想方法来指导解题.教师还可引导学生进行一题多解的练习，用数学思想指导知识、方法的灵活运用.

（四）关注学生的认知能力

向学生渗透数学思想方法必须立足于学生的认知水平，教师应从学生的实际认知能力、理解能力、接受能力、领悟能力，知识储备等方面综合考虑，有层次、有梯度的逐步地向学生渗透.

（五）思考与反思

上好一节数学课，必须分析和熟悉教材，明确教材是怎样安排教学内容的，这样安排是否合理，根据实际情况是否要做调整.其次，教师的价值就是讲教材上没有的东西，所以还要充分挖掘教材背后隐藏的数学思想方法.在以后的学习中要加强自身数学专业知识的学习，熟悉中小学教材，认真分析教材，挖掘其中的数学思想方法.

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