类比法在矩阵运算教学中的应用

陈彦恒 贾松芳

【摘要】 本文探讨了类比法在矩阵运算教学中的应用，将矩阵的运算及其运算律类比为数的运算及其运算律，不仅提升了学生对矩阵运算的理解和实际应用能力，而且激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力和创新意识.

【关键词】 数的运算;矩阵的运算;类比法

【基金项目】 该文由重庆市教委科研资助项目（KJ1710254），重庆三峡学院重点项目（14ZD16），重庆三峡学院数学与统计学院教改项目资助.

矩阵运算又是矩阵的最基本内容，同时也是学生深入进行专业课学习的重要工具，但学生在学习过程中会遇到内容抽象枯燥、知识碎片化、逻辑严密等问题的困扰，从而影响了学习的效果和兴趣.因此，如何增强学生对矩阵运算的学习兴趣和学习效果，如何利用该课程培养学生的数学思想，如何培养学生的创新意识和思维能力是摆在任课教师面前的重要问题.

實践证明，类比教学法是一种解决上述问题的有效方法.类比法，属于平行式思维的一种方法，是通过观察比较、分析联想来猜想所获得的结论，它是一种寻求真理、发现真理的最基本、最主要的工具.特别是在数学的教学中，应用类比法能使学生在学习新知识时，有“恍然大悟”的感觉，使得枯燥的数学理论知识在清晰的对比、归纳中融入学生的知识链中.

数是最基本的概念，对数的研究一直是人类学习研究过程中的基本内容，并且数在复数范围内的加、减、乘、除运算法则是理论的、逻辑的代数体系，它反映了数学的思想和方法，同时也是牢牢驻扎在学生大脑中最熟悉的知识.矩阵的运算与数的运算之间存在很多相似的地方，比如，矩阵的加减法本质上是数的加减法，矩阵的数乘本质上是数的乘法，但数和矩阵是两种不同数学概念，两者又有不同的地方.本文探讨了类比法在矩阵运算教学中的应用，不仅提升了学生对矩阵运算的理解和实际应用能力，而且激发了学生的学习兴趣，培养了学生的思维能力和创新意识.

一、类比法在矩阵线性运算教学中的应用

在矩阵的加减法教学中，由数的加减运算法则可类比性地引出矩阵的加减法运算，即对应元素数字的加减，有减法可进一步说明对应元素全部相等的矩阵相等，其运算规律与数的运算规律完全一致，满足交换律、结合律等，但需注意的是同型矩阵，即行数与列数分别相同的矩阵才能进行加减运算.

在矩阵的数乘运算教学中，数与矩阵的乘法可类比为数与数的乘法，即数与矩阵的每一个元素相乘，从而矩阵的数乘本质就成了数的乘法.因此，关于数的乘法的交换律、结合律、分配律，矩阵的数乘运算也都具有.

由此可以看出，数的加减法，乘法与矩阵线性运算存在着许多的相似处，通过两者类比，加深学生对矩阵线性运算及性质的理解与记忆.

二、类比法在矩阵乘法中的应用

由矩阵的数乘运算，我们知道：一个数乘一个矩阵等于这个数乘矩阵中的每一个元素.通过类比，很自然地提出一个问题：两个矩阵相乘是对应元素相乘吗？答案是否定的.事实上，矩阵的乘法是在实际应用中提出的，体现了数学本质来源于生活的思想，具体可参见文献[1][2]矩阵乘法部分的引例.

在某种意义上，矩阵可以看成是数的推广，那么矩阵的乘法运算律可以类比为数的乘法运算律来进行教学.数的乘法运算律有交换律、结合律、分配律、消去律等，但这些运算律对矩阵乘法来说不完全成立.矩阵乘法满足结合律以及矩阵乘法对矩阵加法的左右分配律，但不满足交换律和消去律.但单位矩阵与任意同阶方阵相乘满足交换律，且相乘结果等于矩阵本身.进一步可知，在满足矩阵可乘的条件下，单位矩阵与任意矩阵左乘或右乘都等于矩阵本身，可见单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1在数乘法中的作用.

在讲授矩阵乘法的运算规律时，关键在于将其与数的乘法运算律进行类比教学，让学生在学习过程中熟练掌握两者运算规律的不同点和相同点.为了使两者之间的区别与联系更加直观，教师可以让学生自己列出数的乘法与矩阵乘法运算律的对比表.

三、类比法在矩阵的逆运算中的应用

在数的乘法运算中，对数a，如果存在数b，使得ab=ba=1，那么称数b是数a的逆，记作a-1.因而，可提出问题：类比数的这一性质，能否利用矩阵的乘法定义矩阵的逆运算呢？答案是肯定的，对方阵 A ，我们把满足条件 AB = BA =I的矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，记作 A -1.

对数a，若a≠0，则a可逆，且a-1= 1 a .类比数的这一性质，可以得到矩阵可逆的判定定理：对方阵 A ，若| A |≠0，则 A 可逆，且 A -1=  A| A | ，其中 A 是 A 的伴随矩阵.

对数a，b，c，若a可逆，且ab=ac，则b=c，即数的乘法是满足消去律的.正如上面所述，矩阵的乘法一般是不满足消去律的，但类比数的这一性质，可得：对矩阵 A ， B ， C ，若 A 可逆，且 AB = AC （ BA = CA ），则 B = C ，即在矩阵可逆的条件下，矩阵的乘法是满足左（右）消去律的.进而还可以利用一元一次方程求解方法来类比求解矩阵方程的解，例如，若矩阵方程 AXB = C ，其中 A ， B 是可逆阵，则矩阵方程有唯一解 X = A -1 CB -1.

从上面的讨论中我们不难发现，矩阵运算的类比法教学不仅可以让学生将所熟悉的数的运算迁移到矩阵的运算上去，而且可以使学生更容易理解矩阵的运算及运算律，使得教师的教和学生的学有机结合，同时也激发了学生的学习兴趣，培养了学生探索问题的能力和创新意识.

【参考文献】

[1]姜友谊，吴艳秋，邹黎敏.线性代数[M].北京：科学出版社，2015.

[2]张志让，刘启宽.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]陈维新.线性代数简明教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010.