立足概念教学 培育核心素养

尉根强

数学概念是数学的学习起点，是学生学习高中数学基础，数学概念的形成往往经历从直观感知到自然语言描述进而上升到数学语言的精确刻画的过程，因此，立足概念教学是培育学生数学核心思维的有效的抓手，本文以“函数的单调性”的教学设计为题，谈谈如何立足概念教学培育学生核心素养.

1 聚焦素养，确定目标

教学目标的制定是教学设计最核心的工作，是实施课堂教学的第一要素，同时也是提高课堂教学有效性的有力保证，教师只有围绕《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称为课标）、深入研读教材、合理分析学情，才能制定出有助于培养核心素养的教学目标，在叙述教学目标时才会主动应用可测量的行为动词来描述学生的在学习过程中应具备的行为，真正在课堂教学中做到有的放矢.

笔者在制定“函数单调性”教学目标时经历了以下几个步骤：

（1）精研教材，审视内容

函数单调性是人教A版必修一“1.3函数的基本性质”的第一课时的内容，函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质，函数单调性的形式化表示是继函数概念表示之后讨论函数“变化”的一个最基本、最重要的性质，函数的单调性决定了函数图象的基本形状，反映出了函数变化的基本规律，函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据.

函数单调性的研究体现了数与形的结合，通过对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步发现增、减变化数字特征，从而对其数学刻画.

感悟教师只有精研教材，才能深入领会，专研概念的内涵和外延，理解其中的数学知识，数学思想和方法，才能为指向数学核心素养的教学目标的设定打下基础.

（2）指向素养，设定目标

基于教材研究，立足课标引领，本节课的教学目标确定为：①学生通过熟悉的函数模型从函数图象从左到右的升降趋势直观感知函数单调性（直观想象）;②学生经历从特殊到一般的函数性质研究过程，归纳出函数的自然语言描述，理解函数在某区间上单调的意义，进而抽象出函数单调性的符号语言描述（数据处理、逻辑推理、数学抽象）;③学生经历概念形成过程，掌握用函数的单调性定义证明函数单调性的方法（数学运算）;④学生经历由函数图象的直观，自然语言的描述到数学语言刻画的函数研究的过程，体会函数性质研究的基本思想方法，积累函数性质研究的基本活动经验（发展学生“四基”）.

感悟上述的教学目标的叙述与一般的三维目标的叙述有所不同，每条教学目标都是站在学生的立场，突出教师为主导，学生为主体的教学思想，阐明了学生应该通过怎样的教学活动，通过怎样的行为学习知识，每条都明确指向数学核心素养.

（3）学情分析，确立难点

对于高一学生，刚进入高中还没有完全适应高中数学的学习方法，学生学习的困难在于，不能由“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言到“由（区间上）任意的X

因此，本节课的教学重点和难点确定为：

教学重点通过一系列具体问题的研究感悟从图象直观过渡到自然语言再翻译成数学语言的函数性质研究的过程，体会数学概念的形成过程（观察、归纳、抽象、概括、证明等），会用定义证明具体函数的单调性，

教学难点逐步由“随着x的增大，y也增大”（单调递增）这一自然语言转换成“由（区间上）任意的X

感悟教学的重难点应该聚焦数学核心素养确立，学生通过单调性的学习，有利于熟悉高中数学的学习特点和方法，理解数学思想和数学方法，养成局部与整体相结合的数学思维习惯，提升学生的直观感知、数学抽象、逻辑推理、数学运算等能力，最终达到培养学生相应数学核心素养的目的.

2 围绕素养，设计过程

高中数学教学设计应该数学核心素养的培育贯穿课堂教学活动的全过程，突出师为主导生为主体的教学理念，通过创设有利于学生数学核心素养提升的教学情境，在教师的引导下，师生共同探索数学概念的形成过程，体会数学概念的本质，体悟高中数学学习的思想方法，从而建构起属于自己的数学认知结构，同時在此过程中培养数学核心素养.

（1）图象直观，引入情境

问题1如图1表示的是某地24小时温度变化的情况，你能说说温度变化特点吗？

预设在夜里的0点到2点，温度越来越低，夜里2点到白天的下午2点，温度不断升高，下午2点到夜里又不断下降，

问题2从函数的表示我们发现，一天中的温度可以表示成关于时间的函数，你能从函数值与自变量之间的关系来说说上述的这种变化特点吗？

引出“函数值随着自变量的值增大而增大”这一话题， 设计意图让学生学会观察、分析、思考.

（2）探索研究，建构概念

问题3如图2，列表描点，画函数f（x）= X2的图象，

设计意图列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律.

问题4利用画出的图象，描述函数值增减变化特征，

预设从函数图象及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在y轴左侧“下降”，即区间（一∞，0]上，随着x的增大，相应的函数值y反而随着减小;图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的函数值y也随着增大，

设计意图几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现.

感悟以学生熟悉的二次函数为模型，通过学生自己描点作图，引导学生立足几何直观感知函数图象的升降特点，完成对函数单调性的图象直观认识，提升学生的直观想象的素养.

问题5当自变量x从小到大变化时，函数值y是如何变化的？

设计意图对前一个问题的再一次概括，用自然语言描述，而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减小，学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征.

感悟函数单调性，从形的角度看就是研究图象走势的变化规律，是上升还是下降;从数的角度看，反映的是当自变量变化时，函数值的变化情况，通过问题引导学生从直观的图象语言过渡到用自变量与函数值之间关系的自然语言的描述，进一步提升对概念的认识，培养学生的思维与表达的能力.

（3）层层递进，尝试转化

师：我们从形和数两个维度说明二次函数在不同区间上函数值随自变量的变化规律，可以归纳得到二次函数在区间（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）叫做函数y=X2的单调递增区间;在区间（-∞，0）上单调递减，（-∞，0）叫做函数y=x2的单调递减区间，那么如何用数学符号精确地表述函数的这样性质呢？我们再看以下几个问题.

师：在（0，+∞）上这样的自变量取值有限吗？可以取出多少这样的值进行比较？

预设学生对这里的取值的表述可能会是无限，无数多等，直接表示到随便或任意取还是有一定的困难.

问题7那么对于一般函数f（x），在（0，+∞）上的无数个自变量的值X1，x2，x3…时，当0

教师通过几何画板演示，让学生感受不能用无数个自变量代替所有自变量.

设计意图引导学生通过取值验证，由定性观察过渡到定量分析，由具体的数字特征逐步过渡到抽象的符号表述，初步经历函数性质研究的特殊到一般，有限到无限的过程，提升逻辑推理素养.

感悟函数单调性概念的生成，从自然语言过渡到符号语言是教学的难点，也是学生第一次接触用数学符号精确刻画函数性质，要让学生体会函数单调性符号表述的自变量取法，这样的验证、猜想、归纳的过程是学生体会数学抽象表述必要过程，是提升学生数学核心素养的必由之路，

教师再用几何画板对二次函数y= X2在y轴右侧，拖动图象上的点，再一次让学生体会随着自变量的增大函数值增大这一性质是不变的，

问题8 要体现在y轴右侧，随着自变量的增大函数值增大这一不变的性质，如何取值才具有一般的代表性？

预设根据学生的交流，进行归纳，在位于y轴右边函数y= x2的图像上随便（任意）取两点，横坐标分别是x1，x2，即当0

设计意图 在难点突破过程中，从自然语言抽象成数学符号表述，以相对口语化的“随便”，替代精确刻画的“任意”学生可能更容易接受.

（4）精确刻画，突破难点

师：“随便”取两个自变量的值总觉得太口语化，数学概念的刻画要求精确严谨，这里体现了在（0，+∞）任意取两个自变量Xl

我们一起再来对二次函数y= X2的单调性进行符号语言的表述：函数f（x）= X2，对于x∈（0，+∞）上任意Xlf（x2），我们说函数f（x）= X2在x∈（0，+∞）上是减函数，

设计意图这里把“随便”换成“任意”并不突然，学生不难接受，有利于难点的突破，提升学生的数学抽象，

结论设函数f（x）的定义域为，：

如果对于定义域Ⅰ内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当X1

如果对于定义域Ⅰ内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当X1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数，

感悟函数单调性的概念是“动”、“静”结合的，直观上看要让自变量“动”起来，但本质上，在X1

（5）应用概念，解决问题

概念的应用有助于对概念的理解，有助于进一步把握概念的本质，通过一些具体的函数单调性的证明或者函数单调区间的划分可以进一步认识函数的单调性这个概念，笔者认为，教材安排的两个例题就是从这个指导思想出发的，因此对于教材的理解必须要深入，对教材例题的取舍必须要慎重，

例1如图3是定义在区间[-5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

预设函数y=f（x）的单调区间有[-5，-2），[-2，1），[1，3），[3，5）其中y=f（x）在区间[-5，-2），[1，3）上是减函数，在区间[-2，1），[3，5）是增函数，

设计意图根据图象直观及函数的单调性概念对例题的解决，加深概念的理解.

感悟通过图象感知，自然语言表述，符号语言表述提出了函数单调性的严格定义，明确了用数学语言证明函数单调性的方法，因此图象语言与自然语言是表示函数性质常用方法，需要融合成整体进行考虑，为后续的学习作好铺垫，

例2物理学中的波意尔定律（k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积v减小，压强p将增大，试用函数的单调性证明之.

预设从压强p表示成体积v的函数，要表示“体积v减小，压强p将增大”，即为自变量v减小，函数值p增大，根据函数单调性的定义，只要证明函数

也就是說当体积v减小时，压强p将增大.

设计意图通过对具体情境的物理问题，使学生能够应用数学概念解决相关问题，培养学生能力，

感悟教师应把重心放在思路的分析上，使学生通过对概念的应用，培养学生转化化归的能力，同时，让学生进行具体的证明，使学生的逻辑推理，数学运算，数据处理的核心素养得到提升.

（6）课堂小结，感悟提升

问题9请你用图象语言，自然语言及符号语言描述函数y=f（x）在区间（a，6）上单调递减的函数的特征，

设计意图 回顾探究函数单调性经历的过程，从图象语言、自然语言和符号语言进一步理解函数的单调性的概念，培养学生数学表达的能力，

问题10 结合例2的证明，请你概括一下用单调性的定义证明具体函数的单调性的方法（步骤）.

设计意图 结合学生证明的亲身经历，归纳出函数单调性证明的4个步骤：任意取值、作差变形、定号判断、给出结论，使学生对数学概念的应用进一步提升到可操作的层面，提升归纳概括的能力，

感悟 函数单调性概念的生成过程中，图形语言、自然语言和符号语言之间的转化至关重要，这是一个难度逐步加大的过程，也是单词性概念深化的过程，通过课堂小结，使学生对函数性质的学习方法进一步巩固，为后续函数性质的研究奠定基础.

3 教学反思，自我提升

在概念教学过程中，概念的生成是一个抽象艰难的过程，通过结构、分析、归纳、概括、推理、抽象等过程，在这一过程中蕴含有大量的数学思维，涉及众多的数学思想和方法，以函数的单调性的教学设计为例，平时的教学设计中做好以下几个方面的钻研.

（1）创设情境，合理引入

在数学概念教学中，运用情境引入教学，能够让学生有一个数学学习的充分准备，教师必须要精心设计教学情境，尽可能让学生从熟悉的，贴近生活的实例入手，这样有助于学生发现问题，引起认知上的冲突，通过情境引入，让学生自己发现并提出学习的课题有时需要通过教师的引导，使学生感受到问题提出比较自然.

（2）环节合理，渐进概括

合理的教学环节是学生高效学习的前提，教师要深入研究教学环节的安排，使概念的形成层层递进，符合学生的数学思维发展，本例中，通过形与数两个维度使图象变化趋势的感性认识转化为数学化的理性认识，但自然语言的描述仍然属于定性描述，再通过对二次函数在（0，+∞）上函数值的比较及配合几何画板的演示，使学生对任意取值有了体会和认识，这时学生通过“随便”取来进行表述，单调性概念已经呼之欲出，这样渐进式的概括使學生能充分参与到概念的生成过程之中，过程自然流畅，对学生数学思维的培育及数学表达有极大的提升.

（3）问题引领，抽象自然

在概念教学中，教师要在课堂教学中精心设置问题链，使学生在教师的问题引领下独立思考和探索，在教师同学的共同交流反思下获取概念，本课例中，所设置的问题从实际问题化为数学问题，由图象直观问题转化为数学精确问题，通过问题的不断推进使学生对概念中的“任意”有了自己的认识，也逐步实现了由图象语言到自然语言到符号语言的不断深入转化，不断把学生的形象思维推向理性思维，使学生从具体到抽象的过程显得更加自然.

（4）主动学习，实践巩固

在概念教学过程中，对概念的抽象必须忌快倡慢，以学生的理解为准则，对概念的应用忌听倡做，以学生的动手实践为主，教师在课堂上引导学生进行积极的探究，在本例中笔者始终坚持通过学生的主动探究得到概念，以教学活动促使学生对函数单调性的概念理解的更加透彻，在概念应用巩固环节，教师也要舍得花时间，因为不是通过教师的课堂反复强调就能起作用的，

数学概念教学是高中数学教学中最本源最重要的，同时对学生的核心素养的培养伴随着概念教学的始终，作为一线教师，要以学生的发展为本，围绕提升学生数学核心素养进行教学设计.

参考文献

[1]孙宏安.数学素养概念的精确化[J].中学数学教学参考，2016 （25）：2-5

[2]黎栋材，龙正武，王尚志.站在系统的高度整体把握函数的单调性教学[J].数学通报，2015 （12）： 7-11，15

[3]杨志文.聚焦数学核心素养的教学活动设计[J].中学数学月刊，2016（08）： 43-45