以“画三角形”实验课为例的“讲中学”的探究①

戴 健

(江苏省苏州市振华中学校 215006)

所谓“讲中学”就是让学生通过“讲概念、述想法”，来提高数学素养，培养智慧．“讲中学”是本文作者在长期的初中数学教学实践中所形成的教学风格，与吕传汉先生的“三教”(教思考、教体验、教表达)的教育思想相契合[1]．本文旨在探讨形成“讲中学”的教学前提，教学环境的创造，以及“讲中学”的教学设计和评价.

1 “讲中学”的教学前提

鲍建生指出，学生高层次思维的表现形式有：(1)对提出的问题，通过自己的独立思考有所见解；(2)解答问题时，能用多种方式表达自己的见解；(3)在讨论时，能向同伴提出有建设性的意见[2]．笔者所追求的正是：通过“讲”的自信来培养对数学的兴趣，形成对数学概念和思想方法的体验，提高综合能力．不难看出，“讲”的过程是“数学化”、“再创造”，讲的机理是“提高元认知水平”，讲的标准是“严谨性”．但是，好的教育目标和教学行为未必具有普遍的适用性．“讲中学”能够落实到位，需要教师、学生和师生关系三个方面的条件．作为教师，笔者的缄默型教学知识主要来源于一直坚持的两件事：备应答，比教材.

备应答是指在写教学设计时不但要备提问、设计问题串，更要想好学生应答的多种可能，对学生的反馈及时纠错、答疑或肯定，引导学生持续有效的交流．比教材是指把同一数学内容相关的几套数学教材的处理方法相比较，挖掘各自特色，为实现最佳教学设计寻找智慧.

本次“画三角形”就是通过苏科版和沪教版的教材比较找到灵感的．沪教版教材[3]在七(下)直接讲三角形的边、角关系和全等三角形，它在研究三角形时单独安排《画三角形》的一节课．这种单独安排引起笔者的强烈兴趣：以前也总会教学生画三角形，关注的是三角形的形状大小的确定性(苏科版)，而沪教版是探究“以下三个元素能否确定三角形？”尽管探究的内容并不完整，但笔者敏感到了这是所见到的“全等三角形判定”定理导出的最佳途径．笔者于是打破常规，设计出一堂数学实验课，探究“确定一个三角形需要哪些元素？”把单纯的用尺规作图画三角形的教学与确定三角形的条件的深度思考进行整合，让学生感受已知一个元素、二个元素画三角形的不确定性，如何追加元素等等．通过画三角形的实验，真正感受到要确定三角形必须具备哪些元素．通过元素确定的实验，再进行三角形全等的判定定理的教学只需简单回顾实验课结论，就没有任何障碍.

笔者对不同时代的学生的心智进行了比较，以前强调学生接受数学概念需要设置科学的阶梯，不能按数学结构的逻辑顺序编写教材，但事实是，近十年来，随着现代媒体的强势浸入，学生的几何直观能力都有更好的基础，比如对图形形状大小的信息可以回答得十分准确．相反地，如果教材中把几何公理变成“量一量、画一画、你能发现什么？”这样的填空题，就会带来一个问题：如果老师比较有经验，很严谨，就能够给学生一个好的答案，如果老师不很严谨，口语化地帮学生回答，就会造成学生在解题中叙述不严谨的弊病，他们也就会对“讲”产生恐惧．因此，实施“讲中学”首先需要营造良好的交流氛围，树立学生强烈的交流意识，再让优秀的语言表达能力和扎实的数学知识形成良性循环.

2 营造“讲中学”的教学环境

笔者对“讲中学”的环境的营造问题进行了持续十多年的探讨，形成了一套系统的方法.

(1)提振自信

笔者接任每一个新班的第一个目标就是：所有的学生都不排斥上数学，而且要让他们感到在上一个新的章节时能够获得新知，充满战斗的力量．学生排斥数学的原因主要是碎片化的教材形式造成的，拿三角形全等的判定来说，常规的教法是，今天教边角边，就演示——做题，明天教角边角，再演示——做题，再研究两边一角、两角一边，看上去每节课的模式很正规，但学生的知识是很琐碎的，只知道学到了一大堆判定定理、也不知道会不会有别的判定方法，就产生了畏惧感．所以，我们一方面要让学生有一个总的概念铺垫，使他们学得轻松、学得自信．另一方面要通过反复提问，把他们前几年积累的“漏洞”自动补起来．

(2)培养习惯

形成习惯以前的学生在表述时最先都是指手画脚、随性而讲的．比如讲平行、讲角平分线时大家都是讲不清楚的，但只要方法适当，教学生“学会讲话”并不难．讲三角形全等的证明题时，笔者要求每个学生找一个(学生)“同伴老师”，这个老师听懂了才允许把题目过程写下来；又比如在讲圆的切线概念时，足有一半学生讲不清，笔者让会的“同伴老师”指导不会的同学讲，练两天后大家就都能讲得很好．几何证明题的书写是非常头痛的，现在让他们练“讲”后，学生思维的严谨性、语言表达的流畅性一旦形成，书写也就简洁明快了.

(3)创造机会

因为应试，年轻的老师在课堂上往往会比较急躁，对(特别是新章节)概念引入会一带而过或者情景辅助．比如说三角形的一章，“三角形”的概念似乎不需要多讲，但作为“平面上的最简单的直线型封闭图形”的语言描述，应该花时间去讲，老师讲了还要让学生都会讲，这样才会自然地想到将多边形分割到三角形这种最简化的图形，而不是到临近中考时遇到压轴题才想到“化繁为简”、“转化”等思想，数学的素养、思想方法都是要靠平时渗透的．更重要的是，抓住这种容易着手的概念，给学生以严谨表达的机会，非常重要.

(4)安静思考

全班会“讲”以后，就要培养“安静的思考”． 比如探究“确定三角形”的条件，很安静地给他们足够时间去画、去想表达方式：对于给定三个元素的问题，预设在10到15分钟之间让大家独立思考，如果画不出来，可以和周围的同学探讨一下，他所画出来得到的结果比教师在讲台上的演示效果好得多，因为这是自己探讨出来的．“做”、“讲”、“写”是三大输出性学习方式，具有实践性、探索性和创造性．课堂上尽量创设情景让学生动手做实验，并让学生通过“讲”表达想法、升华思维、经受学习共同体的评判．

3 以“画三角形”为例的实验课设计和片断回顾

《全等三角形判定》的传统教法是，直接分类得出判定的几个模式，然后每节课学习一种模式，通过题目的一定量的积累使学生找到判定的规律．笔者采取了相反的思路：通过学生的实验，使学生亲自产生更牢固的判定概念，“用有限的知识去解决无限的问题”；这种“确定性”的思维还可以为后续“平行四边形”的学习打好基础．

(1)教学目标

1)本节课先提出“完全确定一个三角形的形状和大小需要给定这个三角形的几个元素”的问题进行思考，再安排画三角形的操作，为下一节课探究判定两个三角形全等的条件储备实验感知.

2)通过创设良好的实验环境和精确设问，让学生体验“操作实验——归纳猜想——发现表达——说理证实”的数学研究过程．

(2)教学重点

整节课“画三角形”的内容，是围绕问题：“确定一个三角形的形状和大小，需要给定这个三角形的几个元素？”而展开．要使所画的三角形完全确定，关键是三角形三个顶点的相对位置必需确定，这是通过画图来探究这个问题关键的思考线索．

1)让学生不但知道一个、二个元素的不确定性，还要会描述反例；

2)对已知“三个元素”条件的确定性和不确定性自觉分类；

3)对已知“四个元素”条件的确定性进行逻辑论证.

(3)过程设计

1)问题提出：一个三角形三边三角六个元素，要完全确定一个三角形的形状和大小，需要给定这个三角形的几个元素？

2)数学实验1：给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是否确定？

(a)已知三角形的两条边的长分别为3cm，4cm；

(b)已知三角形的两个内角分别为45°，60°；

(c)已知三角形的一个内角为45°，一条边长4cm.

3)数学实验2：在下列条件下画三角形，所画的三角形的形状和大小是否确定？

(a)画△ABC，使AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm；

(b)画△ABC，使∠B=50°，∠C=70°，BC=4cm；

(c)画△ABC，使∠B=50°，∠C=70°，AB=3cm；

(d)画△ABC，使AB=3cm，AC=2cm，∠A=45°；

(e)画△ABC，使AB=3cm，BC=2.5cm，∠A=45°.

4)实验发现(讨论)要使所画的三角形完全确定，关键是什么？

5)既然三个元素未必可以确定一个三角形，那么四个元素能否完全确定呢(论证)？

(4)片断回顾

片断1(确定性条件的提出和分类)

首先回顾任何一个三角形有6个元素(3个角和3条边).

师：给定一个角，能否确定一个三角形呢(生答：不能)？请举反例.

生：比如说两块三角板，都有一个角是90°，但一块板的另两个角是45°、45°，而另一块板的另两个角是30°、60°，明显不一样.

师：那么如果给定三角形的三个元素，又会有几种情况呢？

众生：三边、三角、二边一角、二角一边.

两位学生上台图示后众生细分出六种情况：三边、三角、两角及其夹边、两角及一角的对边、两边及其夹角、两边及一边的对角．笔者取出事先准备好的(a)-(e)五个实验题，并要求边画边思考“在这样的条件下画三角形，所画的三角形的形状和大小是否确定？”

十二分钟后，全班六个小组都完成实验．笔者要求同学讲清为什么题(e)有两种情况(如图1).

图1 已知元素“两边及其中一对角”的两个图

生：我先画AB=3cm，再作∠A=45°，以B点为圆心，2.5cm为半径画圆弧，可以作出两个交点，所以会有两种三角形.

……

师：在你们画图的过程中，能确定三角形的形状和大小的关键是什么？

生：关键是要确定三个顶点的位置.

生：在三个条件中，至少要有一个边长的条件.

片断2(对“已知四个元素”的讨论)

师：我现在还有个问题，要画出确定形状和大小的三角形，还需要给出更多的元素吗？……所以，如果任意给出四个元素，怎么样(生众：一定行！)……那么五个条件呢(生众：一定行！).

用反例验证和实验中的不确定性，学会“思维严谨”；从先画再讲、手口相辅的经历中体验“自我评价”；在对分类讨论的不断问答中学会“急中生智”．在实验活动过程中，学生人人参与、独立思考、自主探究，数学分类、数学表达以及合作交流的能力都得到有效提升.

4 小结

“讲中学”首先需要教师积累“充实后的教学知识”，将学科知识与学生、教学、课程有机结合．要营造教学互动的良性循环氛围，让所学的不再是单纯的数学知识，而是清晰表达的综合素养和数学交流中的智慧.

为了培养有素养、有智慧的学生，“讲中学”的深入探讨具有广阔的前景．一方面，“讲中学”成为具有元认知训练意义的、既经济又有效的教学行为，让学生在自我认识、自觉反思、获得信念和动力的同时，在沟通交流、数学化能力、推理论证、制定策略等素养上不断飞跃．另一方面，“讲中学”通过教师课前设计和现场调适，给学生以智慧的熏陶，有益于学生的终身发展．“讲中学”既是提升素养的技术途径，又是探究性教学的典型形式，为学生赋予广阔的思维空间，点亮鲜活的思维火花[4]．