如何巧妙利用化归法解决高中数学三角函数题

瞿良彦

【内容摘要】顺应着新课程改革的洪流，创新成了现代教育的核心内容。各行各业都无时无刻在发生着新的变革，当然教育行业自然也要跟上时代的发展和科技的进步。随着我国教育大环境的更新换代，在教学的方式方法方面也产生了不小的变革，就高中阶段数学课程中三角函数这一部分就有多种教学方式，数学在高中阶段可谓是让大多数学生感到头疼的一门学科，而三角函数作为数学课程中重要的一部分自然也在高中阶段占有重要的位置，同时它具有一定的复杂性、抽象性，也正因如此成为了学生们眼中的难点、教师教学工作中的重点。本文就如何利用化归法巧妙解决高中数学中的三角函数题进行简要论述。

【关键词】高中数学  三角函数  化归法

引言

对于高中阶段的学生来说，他们已经经历过九年义务教育的考验来到高中，这就证明他们已经学习过有关各个学科的基础知识也掌握了一定的学习方法、技巧，但是到了高中，学生将更加深入地学习数学、物理、化学这些自然学科。就数学来讲，高中学习的内容更加宽泛也更加深入，初中掌握的学习方法并不一定能够在高中阶段有效发挥，单一的刷题也不一定能够让学生们在考试当中做到行云流水，这时就要求学生不仅具有扎实的数学基础，还要在这扎实基础上掌握一定的技巧。化归法是数学方法论中的方法之一，在数学的教学当中也随处可见到它的影子。

一、化归法解决问题

在发现已有问题并处理问题的这一过程里，数学一般不会直接横冲直撞去正面处理问题，遇到难题对其进行转化、变形，就像是锁孔里的一些弯曲，直至能够到达解决问题的那一个点。把所要解决的问题，进行一些变化，使之转化为另一个问题x，再对问题x进行求解，把得到的答案运用到初始问题上，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。化归法是一种对问题进行分析并处理的基本方法。在数学中的一般的做法是：把一个非一般的问题通过分解、变形、代换……，或平移、旋转、伸缩……等多种方式，将它化作一个一般问题，从而能够较为方便的求出答案①。例如，在学习平面几何中多边形内角和时，我们能够直接了解的是三角形的内角和是180°，而不知道七边形、八边形内角和计算方法，这时就可以利用化归法将多边形划分为若干个三角形进行求解。

二、化归法在三角函数中的实际应用

1.三角函数以及同角关系式

在三角函数的学习过程中会对三角函数是什么和同角关系式有所考察，在这一类别的题目当中需要着重关注的点是三角函数的“诱导公式”以及函数中sin、cos、tan等符号所代表的含义和规律，所以在遇到这一类型的三角函数题目时需要学生着重关注解决问题时的分类讨论，还要对函数运算符号的选择多加考虑。想要对三角函数和同角关系式有更加熟练的掌握就要将三角函数运算中所用到的基本公式完全记住，从而进一步掌握函数变形技巧。例如：已知cos（-80°）=k，求解tan100°。在这一例题中就涉及到诱导公式和同角三角函数中对符号的准确选取，同时也涉及到了余弦和正切这两者相互转化这一化归法的运用。在这一类型题目的求解过程中一定要着重关注化归法的应用，经过合理的变形、转化，将看似难以处理的问题变得简单，在具有一定数学基础的前提下了解化归思想、掌握化归法，不论是在日常练习还是考试中都能准确解题。

2.三角函数的化简求值

在三角函数这一重点章节中，对函数的化简和求值也是数学考试中会考查的重点，这一部分内容需要学生对三角函数变化这个知识点的掌握程度有很高的要求，面对这类题目要仔细审题、对题目中给出的重要的数据和符号进行分析，并加以灵活运用，必要时运用所学习到的公式对三角函数式进行变形处理，进一步运算得到答案。例如：已知角a是第三象限角，cos2a=-3/5，求tan（π/4+2a）。对于这一题目进行分析，我们可以知道本题考查同角三角函数关系以及倍角公式的运用，通过采用倍角公式对原式的变形，将其变为能够正常运算的一般形式进行求解，这类题目对学生数学综合能力的考查较为明显②。

3.三角函数中y=Asin（ωx+ψ）的图象以及性质

在三角函数中除了同角关系式、化简求值还有一个经常考到的内容就是函数的图象变化，它与前两者一样是应当重点学习的内容，想要沉着应对这一类型题目就需要对正弦函数图象有一个深入的了解和深刻的记忆，在能够准确记忆的前提下去了解它的变化规律以及特点，查清楚、弄明白这其中ψ、ω、A 符号的意义，只有明白公式中每一个符号的含义才能掌握函数变换中的规律、才能把控变换后的结果、才能准确的解出答案。例如：探究y=sinx，y=sin2x，y=2sinx，y=sin（x+π/3）这四个函数的图象。这一题目的探究就需要充分理解ψ、ω、A這几个符号所表示的内容才能理解其图象的由来。

结束语

综上所述，三角函数是普通高中阶段数学课程中的重难点，困难并不可怕，重要的是掌握方法，在学习三角函数这一章节时充分利用化归法在解题上所能够带来的便利，通过转化、变形将看似无解的难题变得可以计算，只要方法正确就能够化繁为简，解答三角函数中的一系列问题。

【注释】

① 段玮洁. 如何巧妙利用化归法解决高中数学三角函数题[J]. 教育，2016（12）：220-220.

② 马聆风. 如何巧妙利用化归法解决高中数学三角函数题[J]. 明日风尚，2017 （23）：202-202.

（作者单位：云南省保山市昌宁县第一中学）