初中数学中函数最值问题

张曼

摘 要：通过对函数最值问题几种解题方法的对比研究，在技巧性很强的函数解题应用过程中如何能透过问题看本质，以提高学生做题效率，激发和拓展学生的逻辑思维能力，彰显出数学的魅力。

关键词：函数最值;判别式;几何模型;思维

中图分类号：G633.6 文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）04-086-1

函数是中学数学中相当重要的一部分，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛应用，其中求函数最值问题是一个重点也是一个难点问题，学生在解题时，由于自身数学基本功及数学思维能力所限，常常出现解题思路不清楚，抓不住题目本质，给学生解题带来困难。因此，现将几种解决函数最值问题的方法做一总结归纳：

一、配方法

求二次函数最值问题最常用的方法就是配方法，配方法的具体步骤如下：第一步提取系数，如y=ax2+bx+c（a≠0），将二次项系数提出来化為y=a（x2+bax）的形式，第二步将括号内两项配成完全平方式，即配一次项系数一半的平方。即将二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0）配成顶点式y=a（x-k）2+h（a≠0）的形式，再根据a的符号和h的值确定函数的最值。

二、判别式法

利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”求解函数最值的方法，称为判别式法。判别式法是求函数最值问题必须掌握的方法之一，适当使用它可以很巧妙的解决求最值问题，对含有二次函数的分式函数求最值或有些含二次根式函数或其它复合函数也可用此方法。

三、利用函数的增减性

初中学习的主要函数有一次函数y=kx+b（k≠0），反比例函数y=kx（k≠0），二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），利用函数的增减性，注意自变量的取值范围，结合具体图象，求出函数最值.

四、分区间讨论法

分区间讨论法就是根据自变量的取值区间及函数在该区间内的增减性，并结合图象来确定最值的方法，对于函数y=kx+b（k≠0，m≤x≤M），含绝对值符号函数及函数等，需利用分区间讨论法确定它们的最值.

五、构造几何模型

函数可以看作是数形结合的载体之一，主要依据是平面几何中有关最短距离有两个定理：（1）两点线段;（2）直线外一点到该直线的任一点距离，垂线段长最短。通常我们把几何问题代数化，通过构造合理的几何模型较容易解析一些代数问题，充分体现数形结合思想在解题中的重要作用。

六、利用不等式的性质

其中一类题就是当题目已知自变量的取值范围，求函数最大值或最小值时，可以将函数y与自变量x位置变换，把用含x的式子表示y，转化成用含y的式子表示x，将问题转化为解不等式;另一类题利用不等式x+y≥2xy（x>0，y>0），（由（a-b）2≥0，得a2-2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab.令a2=x，b2=y，则x+y≥2xy（x>0，y>0））当x+y定值时，xy有最大值，xy当为定值时，x+y有最小值.合理地运用不等式中的两个相关相等关系，可以化繁为简，应用于求函数最值。

以上就是本文总结的六种解决函数最值的常见方法，使学生遇到此类问题能做到心中有数，有的放矢，达到举一反三，灵活运用的目的。

[参考文献]

[1]陶平生，张惠东.初中数学竞赛解题方法大全[M].浙江：浙江大学出版社，2012.

[2]王凤仙.中学数学竞赛中的函数问题分析[J].数学学习与研究，2018（16）：116.

[3]周丽芳.建立数学模型思想，提升问题解决能力——以初中数学线段和的最值问题为例[J].中学数学，2018（16）：88-90.

[4]潘敬贞.一道函数最值问题的四种解法[J].高中数学教与学，2018（16）：44-45.

[5]李士林.例析二次函数背景下的线段最值问题[J].初中数学教与学，2018（14）：34-36.