浅谈数学分析与概率论的相互关系

彭劲

【摘要】数学分析、概率论问题是近年来大多数学研究的焦点，二者是相互渗透、促进的关系，可被用于解决许多相对复杂困难问题.本次研究将对概率论中的数学分析作用表现以及数学分析中概率方法的应用进行分析.

【关键词】数学分析；概率论；相互关系

作为数学知识的两个重要分支，数学分析、概率论分别属于确定性数学、随机数学类型，在研究方向上有一定差异.值得注意的是，尽管二者在研究方向上不同，但却存在一定的相互关系，表现为概率论以数学分析为基础，同时又被运用于数学分析中，若能有效将二者结合，对部分复杂数学问题的解决可提供有效思路.因此，本文对数学分析与概率论关系的研究，具有十分重要的意义.

一、概率论中的数学分析作用表现

（一）特征函数与傅立叶变换

数学分析中，傅立叶变换是主要工具，与之相关的有其他如傅立叶积分、傅立叶级数等，若在密度函数、分布函数中将傅立叶变换引入，则有“特征函数”产生.此时，对随机变量、随机变量序列相关问题解决，借助“特征函数”将极为容易.而问题解决中涉及的定理为若以F1、F2表示有界变差函数，F为其卷积，通过傅立叶-斯蒂尔吉斯变换，则对应有g1、g2、g，g（λ）=g1（λ）·g2（λ）.若在概率论知识中将定理引入，可明确特征函数性质，即ФX+Y=ФX（t）·ФY（t），其中X与Y保持独立，这样便能直接做随机变量和的处理.

（二）公理化体系形成

公理化体系在构成上包括概率论与集合论，其中集合论可理解为数学研究对象均有各自的特征、结构，这种特征或结构所构成的集合便被称之为集合论.之所以有公理化体系形成，很大原因归结于最初的数学分析中，函数处理可通过黎曼积分处理实现，但若涉及其他包括极限交换次序、积分、函数等，处理相对较为困难，后因勒贝格积分逐渐引入，发现在事件概率、集合测度上有一定相似性.直至1993年，柯尔莫哥洛夫以测度论为基础，进行概率论公理化体系构建.由此可发现，概率论将公理化作为基础，属于演绎科学，同各数学分支均有密切联系[1].

（三）函数与分布函数、随机变量

作为数学分析基本概念，函数应用于概率论中简化极多的问题，其中涉及的两个函数概念为分布函数、随机变量，分别为实函数、集函数.若函数关系对应，将随机事件将按照集合、实数的顺序转化，最后实函数取代集函数.同时，对分布函数，从函数角度进行衡量，分布函数则有可积、可导、单调有界等性质.事实上，在许多数学知识中，如关于分布函数与概率密度、随机变量概率计算以及随机变量数字特征等，分析与计算均有微积分内容参与其中.

（四）其他

除以上数学分析作用表现，如随机变量函数、雅可比行列式也涉及概率论中的数学分析作用.从常见的数学知识内容看，一般以显函数为主，但也有其他隐含数组存在，如偏微分方程研究中，利用雅可比行列式可将许多问题解决，如随机变量函数概率分布，其中隨机变量（X，Y），需解决其函数z（X，Y）概率分布问题.另外，其他如中心极限定理、大数定律等也是概率论相关问题，主要用于随机变量序列极限分析，解决问题中可借助同阶数量级方法实现.

二、数学分析中概率方法的具体应用

（一）不等式问题中的数学期望应用

（二）数学分析中的中心极限定理

（三）其他应用

除上述应用外，数学分析中也有其他概率论应用，如数学分析积分，可借助随机变量函数进行求解.再如，部分积分问题存在“积不出来”情况，通过概率密度函数，在转换原积分下，能够完成求解过程[2].

三、结 论

数学分析与概率论保持密切关系，其中数学分析发展下使概率论的研究有了基础，而数学分析问题中概率论逐渐渗透，很大程度上使数学分析进一步发展.从研究中可发现，在概率论中数学分析作用主要表现在傅立叶变换与特征函数、公理化体系以及函数与分布函数等，而数学分析中概率论的应用表现在数学期望与中心极限定理等，二者结合对解决复杂的数学问题发挥积极作用.

【参考文献】

[1]何天荣，吴湘云.关于极限算法的探讨[J].数学学习与研究，2015（17）：81.

[2]窦本旺.波利亚与《怎样解题》——一本值得中学生阅读的数学名著[J].数学学习与研究，2014（13）：120.