基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考

李海东



基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考

李海东

（人民教育出版社，北京 100081）

立体几何研究现实世界物体的形状、大小和位置关系，对于“立体几何初步”的教材编写和教学实施，应当按照整体到局部、一般到特殊的路径构建研究脉络；遵循直观感知、操作确认、推理论证、度量计算的研究方法；关注研究立体图形的一般思路和方法；循序渐进地安排推理训练；关注基本图形的作用．从而发展学生直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养．

立体几何；研究方法；直观想象；逻辑推理

目前，修订的高中课程方案和课程标准已经颁布实施．在发展学生核心素养理念的统领下，数学教材和教学如何贯彻课程标准落实“四基”、培养“四能”、发展“核心素养”的要求也就成为首要研究的问题．立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，21世纪初，在1997年版教材利用空间向量处理立体几何内容的“9B”实验的基础上，《普通高中数学课程标准（实验）》将立体几何内容分为两部分：必修的“立体几何初步”和选修2-1（理科选修）的“空间向量与立体几何”[1]．《普通高中数学课程标准（2017年版）》基本延续了这一做法，只不过将“空间向量与立体几何”作为选择性必修的内容．对于“立体几何初步”，《课程标准（2017年版）》要求从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念[2]．

“立体几何初步”的研究对象是空间图形和空间图形的位置关系，它在发展学生的直观想象和逻辑推理的素养中发挥着重要的作用．在以往的教材和教学中，往往更多关注空间图形具有什么特征，图形位置关系具有什么性质和判定方法，怎么解决一个具体的立体几何问题等．文献研究也发现，对于“立体几何初步”的教学研究也更多地集中在一些具体的解题教学策略，涉及立体几何思想方法的研究也多结合具体内容进行．对于立体图形要研究什么，研究的基本路径是什么，研究的基本方法是什么，解决立体几何问题的基本思路是什么等立体几何学习的基本问题关注不够，而这些才正是提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，发展数学学科核心素养的重要方面．因此，“立体几何初步”的教材编写与教学应构建更加符合学生认知规律的研究路径，让学生经历研究立体几何对象的过程，从中体会立体几何的研究方法，学会解决立体几何问题，发展直观想象和逻辑推理的数学学科核心素养．

1 “从整体到局部”“从一般到特殊”构建立体几何的研究路径

按照《课程标准（2017年版）》的要求，“立体几何初步”包括基本立体图形和基本图形位置关系两部分内容．从研究立体几何的数学逻辑来看，应该是从定性到定量，即从构成空间图形的基本元素——点、直线、平面出发，研究其概念与基本性质；在此基础上，研究它们的位置关系（重点是平行与垂直关系）；再研究这些基本元素组成的几何体，研究它们的结构特征、平面表示以及面积体积的计算等．这种思路，按照公理化体系和知识逻辑关系展开内容，优点是结构严谨、逻辑性强．但与学生的认知规律、思维习惯相矛盾，也是造成学生学习立体几何困难的原因之一．

空间图形是现实世界物体的抽象，学生观察世界，首先接触的是具体的几何体．因此对立体几何的研究应从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形的结构特征、平面表示（直观图），并了解面积和体积的计算；在此基础上，抽象出组成空间图形的基本元素——点、直线、平面，并结合长方体直观认识这些组成元素的位置关系；再进一步研究直线、平面的特殊位置关系——平行和垂直，重点研究其判定和性质（图1）．这种处理方式，从整体到局部，从一般到特殊，在尽量符合数学逻辑严谨性要求的前提下考虑到学生的认知规律，为学生提供一个从具体到抽象、循序渐进、逐步严格的学习过程，为从合情推理到逻辑推理的过渡创造条件，有利于学生空间观念的培养．

在具体内容的展开过程中，也要遵从整体到局部，从一般到特殊的学习路径．例如，对于几何体的结构特征的认识，可以先呈现一些具体的生活实物照片，引导学生从整体上观察，对它们分类，得到多面体和旋转体的概念；在此基础上，再对它们细分，进而得到棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等基本几何体．在对空间点、直线、平面位置关系进行研究的过程中，也要先以长方体为载体，首先整体认识空间点、直线、平面之间的位置关系；在此基础上，再对直线、平面之间平行、垂直这两种特殊情况重点研究．

图1 立体图形的研究路径

要注意，整体和局部是有机联系的．没有对整体的把握，就不易认知局部．例如，异面直线的概念（局部）是一个教学难点，把它放在长方体（整体）中来观察就容易学习了．反之，没有对局部细微的认识，也不能真正认识整体．例如，不理解直线、平面间的垂直关系，就不能深入理解长方体与平行六面体之间的联系与区别．因此，在具体研究直线、平面的特殊位置关系时，也要注意呼应一些有关整体的问题．例如，在学习了直线与平面垂直、平面与平面垂直之后，可以分别给出点到平面的距离、两个平行平面之间的距离的概念，从而进一步解释棱柱、棱锥、棱台的高；还可以借助相关性质推导棱台的体积公式等，从而螺旋上升地加深对棱柱、棱锥、棱台这些几何体的理解．

2 渗透立体几何研究方法 发展直观想象的数学素养

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养[2]．在立体几何的研究中，认识基本立体图形，认识基本图形的位置关系，发现和探索直线、平面平行（垂直）关系的判定和性质等过程中，都要注意渗透立体几何的研究方法，发展学生直观想象的数学素养．

从人们认识世界的过程来看，对“形”的认识要先于对“数”的认识，“形”直观、具体、形象；“数”理性、抽象、逻辑，所以学习立体几何的基本方法是直观感知（识图）——操作确认（画图）——度量计算（算图）——思辨论证（证图）．对于“立体几何初步”的学习，可以通过对实物模型的直观感知和操作，认识空间几何体的结构特征，学习在平面上表示空间图形的方法，学会计算空间几何体的表面积和体积．通过对图形的直观想象，认识刻画平面性质的3个基本事实．结合长方体模型，直观认识空间点、直线、平面的位置关系．通过探究直线、平面平行（垂直）的充分条件，得到相应位置关系的判定定理；通过探究直线、平面平行（垂直）的必要条件，得到了相应位置关系的性质定理，并进行证明．

空间图形问题转化为平面图形问题，是解决空间图形问题的重要思想方法．简单地说，就是要把相关的点、直线（线段）转化到同一个平面上，而转化的基本依据就是4个基本事实．例如，探究直线与平面平行的性质，就是在直线∥平面的条件下，探究直线、平面与空间中其它直线、平面的位置关系，利用基本事实可以发现，过的平面与的交线与平行，而且这些交线相互平行．

在研究直线、平面的位置关系时，由简单到复杂、由易到难是研究的一般思路．可以利用直线与直线的位置关系，研究直线与平面的位置关系，利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系．反过来，由平面与平面的位置关系可进一步理解直线与平面的位置关系，由直线与平面、平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系．在对空间直线、平面的平行、垂直关系进行研究时，要充分体现这一过程（图2）．

图2 空间平行和垂直关系之间的转化

3 关注几何对象的研究过程 提升发现和提出 问题的能力

在“立体几何初步”的学习中，基本立体图形（柱、锥、台、球等）和基本图形位置关系（空间点、直线、平面的位置关系）是主要的研究对象．对于基本立体图形和基本图形位置关系，要让学生明确研究什么，怎么研究，使学生逐步体会抽象数学对象，提出数学问题的方法，提升发现和提出问题的能力．

如前所述，对于基本立体图形的研究，可以按照结构特征（包括相关定义）→平面表示（直观图）→面积和体积的研究路径呈现．这一过程中，针对具体的立体图形，也要呈现一个由具体到抽象、逐步深入的研究过程，体现研究立体图形的基本思路和方法．例如，可以呈现如下研究空间几何体的过程．

● 呈现一些实物（图片），并向学生提出问题：“这些物体（图片表示的物体）具有怎样的形状？数学中，这种形状的物体叫做什么？如何描述它们的形状？”

● 对如何观察这些物体进行引导：“观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象组成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识．”

● 将实物图片所表示的几何体按照“由若干个平面多边形围成的”和“封闭的旋转面围成的”分成两类，得到多面体和旋转体的概念．

● 结合表示棱柱的实物，对组成这一类多面体的各个面的形状、位置关系进行分析，分析组成物体的每个面的形状、面与面之间的位置关系，进而抽象出棱柱的概念．

● 其它多面体和旋转体类似棱柱处理．

对于基本图形位置关系的研究，则要按照定义→判定→性质的思路展开．在每一环节，可以通过提出问题，引导学生构建具体的研究思路，体会研究图形位置关系的过程．过程中要特别关注直线、平面这些基本元素，关注它们之间的关系以及确定这些元素的作用．例如，对于两个平面平行的判定的研究，可以按照如下思路展开．

● 类似于研究直线与平面平行的判定，要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题．

● 如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行．

● 如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的方法？

● 如果一个平面内两条相交直线或两条平行直线（它们都可以确定一个平面）都和另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？

● 结合长方体，探究如果一个平面内的两条相交直线和两条平行直线都平行于另一个平面，这两个平面是否平行．

● 得到平面与平面平行的判定定理：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

● 两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面．为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能用两条平行直线呢？你能从向量的角度解释吗？

上述层层递进的问题，从要解决的问题出发（平面与平面平行），联系以往的学习经验（直线与平面平行），联系确定一个平面的要素（相交直线或平行直线），联系平面向量的知识（平面向量基本定理），既体现了研究平面与平面平行这一问题的研究过程，也有得到判定定理之后的反思，突出了研究基本图形位置关系的一般思路和方法，有利于培养学生发现和提出问题的能力．

4 循序渐进地安排推理训练 发展逻辑推理的 数学素养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其它命题的素养[2]．陈建功先生说：片段的推理，不但见诸任何学科，也可以从日常有条理的谈话得之．但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科[3]．逻辑推理是数学素养的核心，立体几何则是发展学生逻辑推理素养的重要载体．

逻辑推理主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎[2]．在立体几何的学习中，通过对实物、模型、图片等的操作和感知，引导学生归纳、概括出空间几何体的结构特征；通过对图形的观察和实验，发现和提出描述直线、平面之间平行、垂直关系的命题，并逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，引导学生直观解释命题的含义和证明思路，并能证明其中一些命题等，都蕴涵了丰富的逻辑推理．

对于逻辑推理，要注意循序渐进，使学生逐步达到要求．首先，对于几何体的认识，在描述几何体的结构特征时，出现的直线与直线平行、直线与平面垂直、平面与平面平行等，更多依赖于直观感知，不做严格的定义和推理论证的要求；接下来，在利用平面的基本性质作判断（包括3个基本事实的推论的推导），在以长方体为主要载体，通过对图形进行观察、操作、实验，发现直线、平面之间的位置关系，发现直线、平面平行和垂直的判定和性质时，要适当地进行说理训练；在利用相关结论证明直线、平面之间平行（垂直）的性质时，利用基本事实、定义、判定定理、性质定理解决空间图形问题时，要求进行严格的证明．这种处理方式，使得对于逻辑推理的要求逐步达到，降低了学生证明立体几何问题的难度，更有利于学生逻辑推理素养的培养．

在学习立体几何内容时，还要重视几何语言的培养和训练，帮助学生有逻辑地思考和表达．图形是从实物和模型第一次抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字是对图形的描述、解释与讨论；符号则是对文字语言的简化．立体几何的研究过程，要特别注意“模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程．无论是对空间几何体的认识，还是描述平面的3个基本事实的得出，还是相关定义、判定和性质定理的得出，都要首先强调实物原型的作用，让学生从实物原型中抽象出几何图形，发挥直观图形的作用，在图形基础上发展其它数学语言．另外，在立体几何的学习中，在描述定义、定理、性质时，开始借助集合语言描述几何对象之间的关系，学生比较陌生．应注意将符号语言与图形、文字语言相结合，安排一些图形、符号、文字表示之间相互转化的内容，训练学生正确地认识和描述空间的几何图形，并注意几种语言的综合运用，使其优势互补，帮助学生克服这一难点，也为更好地进行逻辑推理打下基础．

5 重视“基本图形”的作用 帮助理解立体图形及其位置关系 解决立体几何问题

立体几何问题，对于学生来说，总感到图形线条多，又处在不同平面内，难以发现要素之间的关系．实际上，空间图形有一些简单的“基本图形”，把这些基本图形的组成元素的位置关系搞清楚了，再解决其它问题时，就很容易排除干扰，提炼出本质特征来．

在空间几何体中，长方体、正四面体、球是基本图形，它们类似于平面几何中的直角三角形、等腰三角形、圆．而其中，长方体又是最基本的，它的原型在生活中随处可见，学生所在的教室则提供了离学生最接近的实例．在研究基本图形位置关系时，无论对于空间点、直线、平面位置关系的整体认识，还是对于空间直线、平面的平行、垂直关系的定义、判定定理、性质定理等，都可以在长方体中找到对应的表示．长方体还可以和空间直角坐标系建立联系，因此它也是今后用向量法解决立体几何问题的基础．

在解决各种立体几何问题时，空间直线、平面的平行、垂直关系是需要关注的核心问题．因此，直线、平面位置关系的定义、判定定理、性质定理等对应的图形也是需要关注的基本图形．除此之外，还有一些图形，反映了丰富的平行、垂直关系，也需要引起关注．例如，对于三棱锥-，只要它满足下列条件之一：

（1），，两两垂直；

（2）⊥平面，且⊥；

（3）⊥平面，且⊥；

（4）⊥平面，平面⊥平面．

则它的4个面都是直角三角形．这一“基本图形”中具有非常丰富的线线、线面、面面垂直关系．如：

（1）线线垂直：⊥，⊥，⊥，⊥，⊥；

（2）线面垂直：⊥平面，⊥平面；

（3）面面垂直：平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面．

类似地，正三棱柱、长方体中切下一角、二面角的平面角与两个平面的垂线组成的图形等也都是反映空间图形位置关系的基本图形．可以看到，这些基本图形都可以与长方体建立联系，它们或是长方体的一部分，或可以由它经过变形得到．因此，要特别关注长方体这一最基本的立体图形，充分发挥它在研究立体图形及其位置关系中的作用．

6 结束语

高中数学课程中，立体几何在发展学生的直观想象与逻辑推理等数学学科核心素养方面发挥着不可替代的作用．“立体几何初步”内容的教材编写和教学，要结合立体几何内容的内在逻辑和学生的认知特点，构建研究框架和教材的结构体系，让学生体会一般到特殊研究立体图形及其位置关系的过程；通过直观想象、数学抽象得到立体几何研究对象，让学生学会用数学的眼光观察世界；通过类比、转化等方法发现和提出如何研究立体图形位置关系的问题，找到研究立体图形位置关系的思路，让学生学会用数学的思维思考世界；在解决具体立体几何问题中，重视基本图形的作用，循序渐进地安排推理训练，让学生学会用数学的语言表达世界．这样，学生既掌握了“四基”，又提高了“四能”，并发展了“核心素养”，从而体现了立体几何教学的育人价值．

[1] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003：19-20．

[2] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：5-6，27-30．

[3] 陈建功．20世纪的数学教育[J]．中国数学杂志，1952（2）：1-21．

Textbook Designing and Teaching Reflections of “Preliminary 3-Dimensional Geometry” Base on Core Literacy

LI Hai-dong

(People’s Education Press, Beijing 100081, China)

3-dimensional geometry studied the shapes, sizes and location relationships of objects in the real world. In the textbook writing process and routine teaching practice of “preliminary 3-dimensional geometry” content, we should construct the research clue from global to local and from general to special; comply with the studying method of intuitive perception, operation confirmation, reasoning and demonstration as well as metric calculation; focus on the general ideas and methods to study 3-dimensional graphics; arrange reasoning trainings step by step; and focus on the function of basic graphics, thus developing students’ intuitive imagination competence and logical reasoning competence; which were contained in mathematical core literacy.

3-dimensional geometry; studying method; intuitive imagination; logical reasoning

2018–11–26

人民教育出版社课程教材研究所重点课题——基于核心素养的高中数学教材与教学研究（KC2018-014）

李海东（1973—），男，河北遵化人，编审，主要从事中学数学课程、教材、教学研究．

G632

A

1004–9894（2019）01–0008–04

李海东．基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考[J]．数学教育学报，2019，28（1）：8-11．

[责任编校：周学智、陈汉君]