徐利治数学教育思想研究

沈 威



徐利治数学教育思想研究

沈 威

（惠州学院 数学与大数据学院，广东 惠州 516007）

徐利治在数学研究、数学哲学和数学教育方面均做出了创造性的贡献，建构徐利治的数学教育思想对当前数学教育具有较重要意义．运用“扎根理论”研究方法对徐利治发表的众多数学教育著述编码分析，建构了徐利治数学教育思想，主要由数学方法论、成才观、数学学习观、数学教学观和数学创造观5个部分组成，它们之间相互交织、相互渗透．用一句话概括徐利治的数学教育思想，就是“如何成为创造性的数学人才”．

徐利治；数学教育；数学创造

1 问题提出

徐利治先生（以下简称：徐先生）是中国著名数学家、数学哲学家和数学教育家．在分析数学领域研究成果丰硕，特别在多维渐近积分、无界函数逼近以及高维边界型求积法等方面都做出了创造性的贡献，在数学哲学方面，他从无限研究的数学哲学思考、数学真理观和数学本体论思想等为数学哲学思想的发展做出了贡献[1]．在数学教育方面，他同样做出了创造性的贡献，对中国数学教育研究产生了重要的影响．徐先生的数学教育观点、看法、信念、认识等体现在他的众多数学教育论述中，收集、整理与研究有关数学教育论述，抽取其中脉络，建构其数学教育思想，对丰富与发展数学教育理论具有重要意义，亦对中国当前正在进行的数学教育改革具有重要启发价值．

2 研究方法

2.1 研究资料的收集

徐先生的数学教育相关著述见于众多论文集、报刊中，依据研究主题，将重点研究徐先生数学教育的相关著述，主要有《谈自学成才》[2]《漫谈学数学》[3]《数学家们是怎样思考和解决问题的？》[4]《直觉与联想对学习和研究数学作用》[5]《徐利治谈治学方法与数学教育》[6]《数学研究中的创造性思维规律》[7]《数学方法论与数学教学改革》[8]《关于数学创造规律的断想及对教改方向的建议》[9]《数学美学与文学》[10]《数学哲学、数学史与数学教育的结合》[11]《谈谈我的一些数学治学经验》[12]《西南联大数学名师的“治学经验之谈”及启示》[13]《数学美与数学教学中的审美》[14]《MM教育方法简介》[15]《数学科学与现代文明（上）》[16]《现代数学教育工作者值得重视的几个概念》[17]《谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想》[18]《数学家的思维方式纵横谈》[19]《数学文化教养对人生的作用》[20]《关于数学与抽象思维的几个问题》[21]《数学研究的艺术》[22]《谈谈个人学习数学的一点经验和看法》[23]等．

2.2 研究方法与过程

2.2.1 研究方法

研究旨在梳理徐先生数学教育思想，梳理基础来源于其相关著述．针对这类研究的特点，“扎根理论”（grounded theory）作为一种从经验资料的基础上建立理论的方法，适合当前研究的需要．因此，研究以“扎根理论”取向的质性研究方法，扎根理论的主要特点不在其经验性，而在于它从经验事实中抽象出了新的概念和思想[24]，以Nvivo11.0质性数据分析软件作为其辅助工具，不带预设地“扎根”于研究对象，对研究对象进行“自下而上”的理论建构．

2.2.2 研究过程

“扎根理论”有一套清晰、具体、严密的研究程序，即一级编码（开放编码）、二级编码（主轴编码）、三级编码（核心编码），其研究工具是研究者本人，在编码过程中，对研究资料分析并持续比较，进行“内在的互动”．

一级编码——开放式编码．对徐先生相关论述的内容进行逐行分析．徐先生的相关论述已经对相关概念做出界定与阐述，因此尽量以原始资料中的概念为基础编码，抽取研究资料中的“本土概念”，共产生103个编码，例如：祖国四化建设需要人才，自学成才，理想，志趣，毅力，方法，立志，德性，情操，活知识，高尚的志趣，坚忍不拔的毅力，正确的自学方法，个人奋斗，培养兴趣，追求简易，重视直观，学会抽象，不怕计算，喜爱文学，兴趣与能力同步发展规律，教、学、研互相促进的规律，MM教学方式，数学方法论，科学文化人，数学共同体，数学文化，数学模式，数学创造，学习共同体，文献爆炸，数盲，数学素养，数学活动论，模式的科学，社会的建构主义，兴趣，乐趣，课外阅读，习题自己做，发散思维，收敛思维，动觉型直觉，视觉性直觉，类比、联想思维方式，直观想象，听觉型直觉等．

二级编码——主轴编码．主轴编码的目的是为了将在开放编码阶段被分割的资料，再加以类聚起来．徐先生在其论述中已经对部分相关概念的类属关系作了明确界定，例如，他指出“人要自学成才，一定要有理想、志趣、毅力和方法”，可见“理想、志趣、毅力和方法”是“人自学成才”的次类属，还有多处具有类似的类属与次类属关系，研究完全按照徐先生的界定，把他已经做出界定的类属关系全部作为主轴编码框架．在此基础上，把一级编码中的相关“本土概念”有效融入．有些概念不能有效融入的，则根据徐先生字里行间的意思建构新的类属关系．

三级编码——核心编码．根据徐先生对相关主题的归类来确定原始资料的核心类别，同时不断与原始资料进行比较，找出能够引导出核心类别的暗示与线索．通过核心类别串起相关概念间的逻辑关系，建构徐先生的数学教育思想．

3 研究结果

徐先生的数学教育思想主要由数学方法论、成才观、数学学习观、数学教学观、数学创造观5部分组成．徐先生的数学方法论自成体系，著述独立完整，与成才观、数学学习观、数学教学观、数学创造观之间的界限相对明确，因此研究主要对成才观、数学学习观、数学教学观、数学创造观进行建构，在建构过程中不断把成才观、数学学习观等的原始资料及其相关编码与数学方法论内容作出比较分析，确保建构的规范性与科学性．研究发现徐先生的数学方法论、成才观、数学学习观、数学教学观、数学创造观之间相互交织、相互渗透，而他的数学研究经验是数学教育思想的基础和重要组成部分，如果用一句话概括徐先生的数学教育思想，就是“如何成为创造性的数学人才”．徐先生数学教育思想的结构图如图1所示．

图1 徐利治先生数学教育思想结构

3.1 成才观

徐先生的成才观体现在他对自学成才的论述中，这些成才观点对培养学生独立思考能力具有重要启发意义．徐先生指出人要自学成才，一定要有理想、志趣、毅力和方法，而理想是最关键的，徐先生进一步指出高尚的人生理想是革命家、科学家和事业家成功和贡献的关键因素，但高尚的志趣、坚忍不拔的毅力和正确的学习方法是不可缺少的条件．可见，高尚的人生理想、高尚的志趣、坚忍不拔的毅力和正确的自学方法是其成才观中的核心要素．

3.1.1 高尚的人生理想

徐先生把高尚的人生理想定义为在青年时代就立志要做一个有益于社会的人，做一个对国家社会有贡献的人．徐先生指出高尚的人生理想具有激发内在学习动机的作用，有了高尚的人生理想，就会尽其所能地学习，这样一种理想或抱负便成为激励他们永远奋发向上的积极动力．在此基础上，徐先生认为理想的具体化就是立志，因为有志者事竟成，而志需要相应德行和情操才能使它逐步完善并得到实现，立志是理想的具体化，是实现人生理想做出的努力方向．

3.1.2 高尚的志趣

徐先生把志趣界定为有志向（目标）和兴趣（爱好）所合成的一种积极的心理状态，而志趣的价值在于对钻研数学的数学精神起着经常激励的作用，甚至在遭到困难或挫折的时候，它还会带来一种克服困难的勇气和毅力，钻研数学的志趣越坚强，那么克服困难的勇气便越大，而困难不断被克服，反过来又不断增强了进攻数学的信心和乐趣．增强高尚志趣的手段之一便是勤于做题，不怕难题．

3.1.3 坚韧不拔的毅力

徐先生没有对坚忍不拔的毅力作出直接阐述，但从他的众多论述可以得到，越来越大钻研数学的勇气、不断克服困难等都是坚忍不拔毅力的表现．具体表现为不怕计算，计算能帮助发现规律，发现漂亮的新结果，这些正是推动人们能耐心地从事复杂计算的心理动力．所以徐先生赞成应利用青少年的爱美天性和寻求新结果的好奇心，配以启发性的教材，让他们不怕计算，学会计算，并能从计算中寻找乐趣，培养学生坚忍不拔的毅力．

3.2 数学学习观

徐先生认为学习数学的方法是懂、化、猜、析、赏．

懂分为浅懂和真懂，所谓的浅懂就是表面的懂，没有弄明白数学概念形成过程，没有弄明白解决问题的来龙去脉，是“见树木不见森林”；真懂或彻悟是对数学的理论、方法或定理能洞察其直观背景，并且看清楚它是如何从具体特例过渡到一般（抽象）形式的，要弄明白整个思路的来龙去脉，把它理解得非常自然，非常直观，直至成为心中一目了然的东西，彻底理解它所以如此的道理．为了达到真懂或彻悟的境界，就不能只停留在弄清楚演绎论证的步骤里，必须重视具体特例的分析，必须注意直观背景素材的综合，必须通过人脑的联想力和概括思维能力从具体素材中领悟出最基本、最本质、最一般性的东西．能用自己的语言随时把它复述出来，数学的理论、方法或定理就好象是自己发现的一样．

化就是指化简、化归和变化形式的意思．“换句话说”体现了化的核心意义，就是保留原意而改变表述形式，在处理数学问题时，往往需要若干次的“换句话说”才能把原来的问题化难为易、化繁为简或是化生为熟．要学好化的本事，必须养成计算的精确性与推理的严谨性精神．面对一个数学问题，为了便于下手解决，第一步要设法简化问题．化简的意思有两层，一层是转化问题的形式，即改述成另一个相当的形式，使得改换后的形式比较熟悉，能和自己已知的知识联系起来；另一层是分解问题，即把问题分解成若干组成部分，把一个较大或较复杂的问题分解成一些“子问题”或“小问题”，再把每个小问题各个击破，最后合拢起来就解决了整个问题．获得转化与分解的技巧，要依靠多解题、多思考、多总结经验，最好多看历史上著名数学家是怎样做到的．

猜就是猜想的意思．徐先生指出，一切科学领域的重大发现，大多是依靠合理猜想得出的．而猜想需要研究者不厌其繁的归纳、类比与细心观察，所以要学好猜想的本身，必须培养3种品质：勤奋、勇敢和细心．要学习欧拉，不怕麻烦，勤于计算，勤于观察，大胆设想，细心求证．

析就是分析能力．培养分析能力的主要途径是多做应用题，在解决应用问题过程中，需要使用数学中常用的语言、概念、符号，把问题中涉及的全部条件表述成数学形式，即关系式、方程式、几何图形及算法程序等．通过做应用题磨练抽象思考能力和分析能力．培养分析能力最常用的一种分析法是“逆推法”，通俗地说，就是倒转过来研究问题的方法．当猜到一个问题的结论但不知如何着手证明时，可以把“结论”当做已知“条件”一步步倒退探索，摸清通向“结论”的道路和起点，最后再一步步返回结论．

赏就是鉴赏力，数学鉴赏力是指领会数学美的能力．数学美主要特征是指概念的简单性，定理与公式的普遍性、统一性，定理结构的协调性，公式结构的对称性，方法的精巧性等．感受数学美需要一个学习和领会的过程，只有对数学题材理解得越深刻，才能领会到“数学美”的享受，这样就能越喜爱数学，越钻越深，不会产生困倦和厌烦．

徐先生根据历史上多位杰出数学家解决问题的方法，例如笛卡尔、欧拉、拉格朗日、高斯、阿贝尔、雅可比、伽罗瓦、庞加莱、腊马奴扬等，指出倒退分析法、抽象分析法、尝试法或试探法是分析解决数学难题的一般策略和手段．

当遇到一个问题不知如何下手时，就看一看它所要得到的“结论”是什么？问题就变为如何达到这个“结论”，但困难往往是不知道从哪里起步，这时最好的办法就是从“结论”出发，也即把“结论”当做已知“条件”，一步步往回探索，这样就摸清楚通向“结论”的道路，自然也就会找到这条路子起步的地方，然后再一步步返回结论，这种方法就称为倒推分析法．

抽象分析法是通过分析，抓住问题实质，把问题转换形式（即等价变形），以便达到化难为易、化繁为简的目的．遇到较复杂的情况，还需要把已经转换后的问题进行分解（分解成各个组成部分或者分解为若干可能情形），然后各个击破，以使问题获得全部解决．这种方法包含如下的基本过程：第一步是必须使用数学语言、数学概念和数学符号把应用问题（或实际问题）表述成数学问题；第二步是对已经表述成数学形式的数学问题再使用演绎推理或逻辑分析法或计算方法等去求得答案．

在几何证题中，常常需要作些“补助线”，如果补助线作对了，问题即可迎刃而解．但正确有用的补助线有时并不是立刻就能找到的，这样就需要左试右试，从失败与成功中去发现正确的补助线，这就叫做尝试法或试探法．

3.3 数学教学观

无论是中学数学教材还是大学数学各门课程的教材，都毫无例外地把数学知识力求组织成演绎结构系统来进行教学．徐先生认为，这种只重视传授演绎性数学知识，过分强调演绎推理的训练，不利于培养青年一代的数学想象力和创造力，不但要能灵活地运用数学工具，还需要青年一代在科技上有所创新和发明．为了培养既有创造发明能力，又有逻辑论证能力的数学师资和学生，应该在中学和大专院校的数学教材中采用“归纳与演绎交互为用的原则”，不仅应该教学生运用科学归纳法试着去猜结论、猜条件、猜定理、猜证法，还要他们学会从探索性演绎法过渡到纯形式的演绎法，能够把预见到的合理命题或定理的证明一丝不苟地建立在逻辑演绎基础上．

徐先生进一步指出，从方法论角度看，数学真理知识的发现、发掘和推陈出新，离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程．所以，重要的事情是要教会学生运用科学归纳法从特殊例子中去发现出一般性的东西来．徐先生认为，归纳法和类比法常常被认为是发现数学真理的重要方法，前者是从特殊过渡到一般的思想方法，后者是由彼及此的联想方法．归纳和类比离不开观察、分析和联想，在数学教学中如果适当增加进这方面的有趣题材，对培养数学的观察力、分析能力和联想能力极有帮助．徐先生认为爱因斯坦所倡导的“探索性演绎法”是许多有创造力的数学工作者惯用方法去发现和建立定理和理论成果．这种演绎法作为推理出发点的前提或条件多半是不够充分或比较模糊，推理的前提或假设往往是一种不稳定的猜测，在推理的过程中常处于可更改的地位．

徐先生总结出，在数学教学中，既要发展学生的发散思维能力，又要培养他们的收敛思维能力；既要教会学生严格的逻辑推理，还要教会学生大胆进行不严格的猜想、联想和合情推理（即波利亚倡导的方法）．因此，徐先生认为“归纳与演绎并用”的原则应是数学教学改革中一条值得重视的原则．

3.4 数学创造观

徐先生对数学创造力给出了公式：数学创造力=有效知识量×发散思维能力×抽象分析能力×审美能力．徐先生认为，要从事跟上时代的创造性数学研究工作，如果缺乏必要的知识准备，就会寸步难行．在众多的数学课程中，有两门必要的知识却往往被忽视，这两门知识就是“数学发展史”和“数学（科学）方法论”．徐先生指出，这两门知识必须列入知识准备中，因为数学史不仅能告诉人们已经有了什么，还能教给人们如何去增添什么，数学史的学习还能使学生们不去为那些久已解决了的数学问题浪费时间和消耗精力，不在攻克数学问题中去重蹈数学前辈由于使用错误方法而导致失败的覆辙．数学史还能告诫人们，一个阵地往往不是直攻的办法所能夺取的，特别是在正面攻击难以制胜之时，就要先行侦察并逐个占领主攻阵地周围的据点，而后寻找隐蔽小道去攻克那个难以攻克的阵地．对于数学（科学）方法论或数学（科学）哲学，它向人们揭示了科学知识体系成长发展的一般规律，这对从事创造性活动的数学研究工作者和数学教师都会带来其中的启示和教益．

徐先生指出，归纳法、联想法与类比法主要是发现数学真理（定理及公式）的有效手段．联想是一种思维活动，简单地说就是把不同事物联系起来的一种思想方法，联想也是一种能力，知识越丰富，联想范围便越广阔，因而联想能力越强．类比法就是对两个或几个相似的东西进行联想，把它们中间某个较熟悉的性质转移到和它相似的对象上去，从而作出相应的判断或推理．

徐先生所指的归纳法与中学代数里“数学归纳法”不同，这里的归纳法是一般自然科学中用到的归纳法，称为“经验归纳法”或“实验归纳法”．就是从特殊到一般的思想方法，指把无数特殊事物中蕴含着某种共同性的东西或普遍关系找出来表述为一般性命题或普遍公式．运用数学归纳法进行发现与创造，要重视特例，耐心地观察特例，善于分析特例，并从中猜想出普遍性的结论，这是使用归纳法的重要步骤．

一般来说，如果猜到了或者发现了一个命题之后，还必须利用数学归纳法或别种论证法去证明它，所以现代从事创造性的科研活动中，惯常采用如下的途径和步骤（见图2）：

图2 归纳法与类比法在创造性工作中的途径与步骤

数学直觉是抽象思维的起点，又是抽象思维的归宿．数学直觉具有“了解事物整体”的作用，还有将细节“组合成和谐整体”的性能．数学直觉应包括人脑认识反映过程中的“美的直觉”“真伪的直觉”和“关系的直觉”等几个方面，这些直觉又是相互联系的．一切事物（包括作为数学概念背景的事物或对象）都处在对立统一和普遍联系的关系之中，在它们之间会呈现出某种对称性、协调性和简洁性，这些便构成“美的直觉”的内容，数学知识学得越多，数学美的直觉意识越强，这种意识能帮助人们选取数学观念间的最佳组合，形成新数学思想或概念，实现认识过程的飞跃．“真伪的直觉”的思维形式主要表现在猜想过程中，对科学进步有重要作用．“关系的直觉”主要包括“序”的直觉、“相似性”与“相关性”的直觉、对应关系的直觉、连续性的直觉，以及空间对称性直觉等．联想与类比常常凭借这种直觉，把一些表面上似乎无关的对象纳入到同一个更高层次的理论框架中去．这些直觉不是天赋的，都是通过实践成长起来的．

直觉与联想这两种思维形式互为因果，前者促进后者的展开，后者又反过来充实并发展前者的内容．培养直觉与联想能力首先要注意培养较广泛的兴趣，博览群书，好学深思，多想问题，必须注重实践，联系实际，经常动手去解决问题．正所谓“成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神可能来自他们的博学”．

徐先生认为，数学直觉作为一种思维运动形式来看，它是人脑对于数学对象事物（结构及其关系）的某种直接的领悟或洞察．是一种不包含普通逻辑推理过程（但可能包含着“合情推理”形式）的直接悟性，属于发散思维范畴．数学直觉往往产生于经验、观察、归纳、类比和联想的基础上，有时以心理学上的“顿悟”形式出现．数学直觉是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式，它往往构成思维与对象之间的直接联系，并以直接推断形式（例如洞察、预见或者合理猜想等形式）把握住对象关系的本质．

徐先生指出了数学直觉在数学学习与数学创造中的重要价值，他认为学习数学和研究数学是互相促进，学习数学知识必须重视生动的直观背景并采取分析研究态度，才能学得透、学得活．另一方面，研究工作过程中又必须随时学习新知识、新工具，这样才能开阔视野扩大联想领域，获取新的成果．数学直觉成为联系数学学习与数学创造的关键环节，如果一个学生数学学习成绩不错，但是数学直觉没有培养好，就很难在数学创造上有所成就．

想象是数学创造不可匮缺的科学浪漫主义素质．在提出、创立概念时，在寻找思路时，需要归纳想象、类比联想、观察猜想、思路跳跃和思维发散．这种“神驰万里，思接千载”的浪漫主义素质对于数学家特别重要．想象力是数学创造的心理要素之一，作为产生新知识的科学研究，第一步是选题，这一步与想象力息息相关，研究者需要想象结果，预见研究的成败；第二步是研究，也时时需要想象力和预见性，否则会做虚功，走弯路，乃至丧失信心，一事无成．想象需要常规的观察猜想、类比联想，也需要非常规的标新立异，突破禁区．不论常规还是非常规的想象，都需要知识作为支撑点，缺乏必要的知识，想象的头脑就缺乏用来加工的原料，想象就是贫乏与微弱的．

徐先生认为数学创造需要美学思想与审美能力．审美能力是指心灵中感知数学中的和谐性、简单性、对称性及其奇异性的一种直觉能力．正如想象力不是文学家、艺术家的专利品，美也是数学探索的极佳境界．均衡、匀称、和谐、简洁、凝练、统一、整齐、不变、奇异和独特等方式是数学美的重要表现．数学美的本质就是数学关系结构系统与作为审美主体的人的意向的融合．按照发明心理学的观点，任何数学科学的创造发明都产生于观念的选择，而最佳选择的出现归因于无意识里的“审美直觉”．“审美”是一种关于事物关系的“和谐性”与“简单性规律”的直觉意识，这种意识能力是人脑经历了千百万年进化而获得的一种最高层次的心智本能，审美直觉自然成为发明心理学的理论核心了．除了数学审美直觉之外，还要分析研究数学模式的美学特征，发掘各种数学题材中美的因素，还应探讨审美意识对创制数学模式和运用数学解决问题过程中的启示作用[25-36]．

徐先生不但讨论了数学创造力的内涵，还给出了一个较完整的数学和其它科技创造性工作的历程图（见图3）．

图3 创造性工作的历程

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XU Li-zhi’s Thought of Mathematics Education

SHEN Wei

(College of Mathematics and Big-Data Science, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China)

XU Li-zhi has made a creative contribution in the field of mathematical research, philosophy of mathematics and mathematics education. The constructing of XU Li-zhi’s thought of mathematics education is of great significance to the current mathematics education.Using the grounded theory research method, takes coding analysis of numerous mathematics educational works published by XU Li-zhi, XU Li-zhi’s educational thought was constructed. It was mainly composed of five parts: mathematical methodology, talent view, mathematics learning view, mathematics teaching view and mathematics creation view. They were interwoven and permeated each other. Summing up in one sentence for XU Li-zhi’s thought of mathematics education was “how to become mathematics creative talents”.

XU Li-zhi; mathematics education; mathematical creation

2018–11–01

广东省高等教育教学改革项目——卓越视野下职前数学教师教学能力培养模式研究；惠州学院优秀青年培育项目——数学教师核心素养研究（hzu201713）

沈威（1982—），男，安徽灵璧人，副教授，博士，主要从事数学课程与教学论研究．

G521

A

1004–9894（2019）01–0074–05

沈威．徐利治数学教育思想研究[J]．数学教育学报，2019，28（1）：74-78．

[责任编校：张楠、陈汉君]