一道三角形外接圆问题的解法集锦

张志华 武晓

[摘  要] 在解析几何中涉及三角形的外接圆问题，是高考中的一类热点且为难点的题型.这类问题对学生的思维要求高，要求学生具有用代数方法解决几何问题的转化能力. 通过一个范例給出了多种解法思路，真正起到让学生认识问题本质、“做一道通一类”的目的.

[关键词] 解析几何;三角形外接圆;解法集锦

在解析几何中涉及三角形的外接圆问题，是高考中的一类热点且为难点的题型.这类问题对学生的思维要求高，要求学生具有较强的运算能力及用代数方法解决几何问题的转化能力，所以很多学生对此类问题望而生畏. 例如下面这道例题就是非常好的范例，值得大家认真揣摩.

评注：此解法抓住解析几何的本质，从几何图形的性质入手，观察发现圆O与圆M位似，且位似比为1∶2，只需取点P的位似点F ′（-a，4）. 从而将F在圆O上转化为F ′在圆M上，即F ′，A，P，B四点共圆，只需证对角互补，问题经过这样转化就变得十分简单明了了，真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”.

教学启发

通过对这道涉及三角形外接圆的解析几何问题的深入研究，我们有颇多启发. 首先，通法通解是关键，应常抓不懈. 绝大多数学生想到的是解法1，那么对字符化简的功夫要深厚，逻辑上的严谨性也值得相当关注. 其次，恒等变形的能力也应引起相当重视（如解法2）. 高中没有专门的章节讲授恒等变形，但是解题中经常用到恒等变形，可以这么说，“若没有恒等变形，数学将变得寸步难行”，所以平常让学生熟练一些基本结构（如对偶）的变形套路十分必要. 最后，解析几何要回归到几何的本质. 解析几何首先是几何，既然是几何就应该先抓住几何图形的特点认真分析，再选择一最佳解析方法快速切入，这也符合考试大纲所提倡的“多想一点、少算一点”的理念. 这真是“删繁就简三秋树，领异标新二月花”.