基于多元表征理论的“数列概念”教学案例

王炳炳

[摘  要] 概念教学是数学教学中不可或缺的重要组成部分，所谓概念表征是用某种形式，将概念重新表征出来，不同的表征将导致不同的思维方式和不同的学习效果，强调多层次、多角度选取多元素材表征概念是运用“多元表征理论”设计教学的重要途径.

[关键词] 多元表征理论;数列概念;概念教学

表征又称心理表征或知识表征，是指信息或知识在心理活动中的表现和记载的方式. 数学概念“心理表征”的研究经历了由“外”到“内”、由“一”到“多”、由主要集中于“了解学生”到“努力促进学生的发展”的重要转变. 多元表征理论更加强调数学概念心理表征的多元性，强调概念表征不同方向的相互渗透和必要补充.

数学概念具有抽象性、多元性、层次性和系统性等基本特征，根据表征理论，教师在教学中应重视如何发挥学生的主体作用. 同时，还应根据学生认识活动的个体特殊性，关注每位学生在学习过程中的真实思维活动. 为此，要利用数学概念表征形式的多样性，灵活地向学生提供可观察的行为或对象，如文字、图形、图表和符号等各种呈现，创设出一种多元变化的教学情境，引发数学思考，探索数学规律，发现数学本质，使学生的自主探究式学习得到落实. 笔者结合“数列概念”的课堂教学，运用“多元表征理论”做指导，阐述其认识及反思.

创设情境，形成概念

（1）古希腊数学家常用小石子摆成如图1的形状来表示数，自上而下每层的石子数排成的一列数依次为1，2，3，4，5.

（2）一个受精卵细胞分裂，每次一个细胞分裂成2个，则每次分裂后的细胞个数排成的一列数依次是2，4，8，16，….

（3）从1984年到2016年，我国共参加了9届奥运会，所得金牌总数排成的一列数依次为15，5，16，16，28，32，51，38，26.

（5）取无理数π的近似值（四舍五入法），按有效数字的个数排成的一列数依次为3，3.1，3.14，3.142，….

师：上面五组数字有什么共同特征？

生1：每组数字都有规律.

生2：不对，第3组数字就没有“规律”.

师（追问生1）：你能具体解释一下“有规律”的含义吗？

生1：“有规律”就是知道面前几个数字，由规律可以写出后面的一个数字.

师（追问生2）：为什么说第3组没有“规律”呢？

生2：如果有规律，你能确定2020年东京奥运会我国所获得金牌数吗？那是不可能的.

师：“有规律”并不是这五组数字的共同特征.那共同特征又是什么呢？在每组数字中，能否将数字随意调换？调换后还能表达原来的意思吗？若不能调换又说明了什么？

生3：不能随意调换，调换后这组数字的意思改变了，说明每组数字都是有一定次序的.

师（板书数列概念）：你能从数列概念中找出哪些关键词？

生4：有两个关键词：“次序”和“一列数”.

师：根据概念，1，2，3，4，5和5，4，3，2，1都是数列吗？若是，是否为同一个数列？

生5：都是数列，但不是同一个数列，因为数字的排列次序不相同.

师：这说明两个数列，即使数字完全相同，只要出现次序不完全相同，就是不同数列. {1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}是同一个数集吗？还能说出集合中元素的三个特征是什么？

生6：是同一个数集.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

师：1，1，1，1，…和-1，1，-1，1，…是数列吗？

生7：都是数列，因为它们也是按一定次序排成的一列数.

师：由此可见，数列中的数字可以重复出现，但代表的含义可能不同，第3组数字中两个16的含义就是不同的. 数列具有有序性、可重复性和确定性三个特征.

教学反思：概念学习的本质是对概念属性的辨认，而实例则是概念属性的具体化和形象化.由“多元表征理论”，教师提供的实例要切合学生的生活，具有丰富性和典型性，要恰当使用正反例引导学生辨认概念的本质属性与非本质属性.

表示数列，深化概念

师：对于具体数列，仅用记号{an}并不能反映该数列的实际内涵. 第3组数列2，4，8，16，…，尝试用表格和图像的方法表示这个数列.

生8：表1所示.

师：这是用列表的方法表示数列.数列的项在变化，其实还有一个量在伴随着它而变化，你能找出来吗？

生9：项随项数序号的变化而变化.

师：你能改进上述表格，清晰地刻画这两个变量的对应关系吗？

生9：改为表2所示.

生10：图2所示.

师：这是用图像表示数列，能把数列16，8，4，2，…在数轴上表示出来吗？

师生活动：发现与数列2，4，8，16，…图示的结果完全相同.

师：兩个不同的数列，表示结果相同，显然是不行的. 那问题在哪里，能找出解决问题的办法吗？

生10：用数轴表示数列，并不能反映出每一项所对应的序号，还必须考虑每一项所对应的项数.

师：如何在图形上同时考虑项和项数呢？

生10：用平面直角坐标系，把项数作为横坐标，对应的项作为纵坐标，然后描点，即可表示数列2，4，8，16，…，如图3.

师：这体现了数列的“有序性”.这样表示能将上面两个数列区分开吗？

生11：可以，如图4.

师：还有其他的表示方法吗？

生12：an=2n（n∈N*）.

师：以上分别用列表、图像、公式表示了同一数列. 这三种表示法有什么共同特征？

生13：这三种方法都反映了项与项数的对应关系.

师：这种对应关系有什么特征？以前见过类似的情况吗？

生14：每一个项数对应唯一的项.函数概念也有类似的特点.

师：类比函数概念，那么数列{an}中的自变量、因变量和对应法则分别是什么？

生15：项数n相当于自变量，项an相当于因变量，an=f（n）相当于对应法则.

师：数列的定义域是什么？解析式又是什么？

生16：数列的定义域是正整数集N*，解析式就是数列的通项公式.

师：如何由函数y=f（x）得到相应的数列？

生17：x可以取从1开始的正整数，就可以得到数列：f（1），f（2），…，f（n），…

教学反思：无论从认识论的观点还是从认知心理学的观点，概念的掌握都应该在概念的体系中完成. 数列概念也应纳入概念体系中，揭示其函数本质，只有这样，才能形成良好的认知结构. 数列与函数的关联是本节课的难点，教师引导学生分析项与项数的对应关系，得出数列是特殊的函数. 教学设计的关键是设计自然的过程，这是一种数学知识发生发展的过程与学生数学认识过程的融合.

由“多元表征理论”可知，概念教学中可以通过符号表征、语言表征、操作表征、情景表征、图形表征等多种不同的表征形式，在教师恰当的引导下帮助学生在表征的不同成分之间建立充分的联系，并能根据需要与情景做出灵活的转换.函数与数列都可以通过列表、图像和公式三种不同的方法来表示. 这些共性可以将两者从外部形式上联系起来，而自变量与因变量、项数与项对应关系中的存在唯一性特征才是问题的本质.教师通过层层深入，让学生感受到数列的多元表征，找到函数的本质联系.教学设计让学生从不同的方法表示数列引入，当学生出现一些欠缺与错误，教师及时变换情景，让学生继续合作交流、主动发现问题所在，引导学生解决问题，从而将数列概念成功纳入函数概念的体系中去，揭示本质的同时实现了认识的深化.

问题应用，巩固概念

例 已知数列{an}的通项公式为an=3n+1，（1）写出该数列的首项与第4项.（2）判断16和45是否为该数列中的项？若是，指出是第几项;若不是，请说明理由.

变式：根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式.

师生活动：学生自主解答，教师展示结果分析点评，突出数列的函数本质.强调一些数列的通项公式不是唯一的，不是每一个数列都能写出它的通项公式.

教学反思：“多元表征理论”指出，“变化”是认识的一种手段，其根本目的在于通过“变化”与“对照”帮助学生更好地认识其中的不变因素，即概念或问题的本质. 同时注重培养学生思维的整合性和灵活性. 在例题与变式练习环节，围绕数列的概念、数列与函数的关系精心设计，利用逆向性、探索性、开放性问题等载体培养学生思维的广度、深度与灵活度.

运用“多元表征理论”进行概念教學时，要以“理解教学，理解学生，理解数学”作为教学设计的基本点. 只有教师自身对数学的思想、方法和精神有高水平的理解，才能在教学中把数学思想传授给学生;只有对学生的数学思维规律有深入的研究与了解，才会知道采取怎样的教学措施引导学生的思维活动;只有遵循了学生的认知规律和数学教学的特点，数学教学的质量和效益才能真正提高. 否则，运用的表征即使多元化，但偏离了数学的本质，脱离了学生的心理发展水平与认知特点，也不能达成满意的教学成效.