用题根改进数学解题教学的实践探索

潘小明 徐智勇

[摘  要] 数学解题教学的有效性事关学生数学核心素养的提高. 合理运用题根的数学解题教学不仅关注数学问题及求解中的实质，而且注重引导学生抓住根本的数学问题、数学思想方法.用题根改进数学解题教学有着多方面的重要价值，但这些价值的实现有待于数学教师进行精心的数学解题教学设计.基于题根的数学解题教学案例分析，研究者得到两个重要启示，一方面，数学教师要善于在那些看似简单的数学问题中调动学生的深度数学思维，要通过自己的努力让学生经由数学解题的实践实现相关数学问题的生根、发芽;另一方面，数学教师本人要善于在学生面前暴露自己进行数学问题寻根的思维过程，要善于引导学生联结个人数学现实与待解数学任务，努力推进基于数学题根的有效数学化和有效再创造.

[关键词] 数学解题教学;有效性;题根式;变式教学;案例

数学解题教学的有效性：一个值得重视的现实问题

数学课程的内在特点决定了学生学习数学需要进行解题实践，这是因为数学课程教学中的解题实践是巩固学生数学知识、训练学生数学思维、培养学生数学能力的必要途径和重要手段. 但是，诚如所有的教学活动都存在着“是否有效”“效果究竟如何”的问题，在现实的数学教学实践活动中，数学解题活动也存在着“是否有效”“效果究竟如何”的考量.

不当的数学解题实践不仅不能有效地巩固学生的数学知识、培养学生的数学能力，而且会僵化学生的数学思维，窄化学生的数学知识，弱化学生的数学能力. 目前，数学教育教学实践中依然存在的数学题海战术非常容易扼杀学生数学学习的积极性，不少学生消耗了大量精力做了许多质量不高的数学题目，却在数学能力、数学成绩上收效甚微，由解题“生厌”“生烦”最终主动远离数学解题活动的学生不计其数.

为了克服题海战术在数学教学中的负面效应，我国数学教育界曾提出了“数学变式教学”的主张，强调通过数学变式的教学来实现数学课堂中的“精讲精练”. 由于这种教学总体上是体现了教师教学思想、教学模式和方法策略的变化，特别地，更多的是体现了教师教学供给端的“精讲”和对教学对象在数学认知上进行不平衡性的激发，所以这一偏向外部形态、以式的变化为主的教学变革并未能真正地深化学生的数学学习，不少以变式为特征的数学课堂尚未能真正有效地提高学生对数学问题及其求解的本质认识，比如，就常见数学题目的变式而言，“数学变式教学”更多的是注重探究问题条件的变化（增加、减少或变更）、问题结论的形态（是否唯一）以及诸如命题是否可以推广、引申等，对于诸如“一个或一类问题或命题的根本究竟是什么”“如何挖掘、寻探并利用数学问题的根本”等类似的问题并未进行深入、有效的探究.

自2015年起，研究者主持的“数学教师实践性知識研究”课题组对江苏省泰州市多所中学数学教师的解题教学进行了课堂观察，并持续地进行了跟踪调研.调研结果表明，不少教师虽然通过数学变式教学的方式提高了学生“一题多解”“一法多题”的能力，也部分改进了数学解题教学的效果. 但由于学生在这种以变式驱动的数学解题活动中并未真正、明显地增强自主性、探究性，故在经历了一系列基于“数学变式”的演绎活动之后，仍然有不少学生在面对具体的数学问题时感到“难以下手”“功力不足”.

用题根联结解题思维：改进数学解题教学的新探索

“数学教学改革没有深入数学的内容必然是空洞的”“数学教学不进行考试是不现实的”，在对“数学变式教学”可能的局限性和现实的不足进行了必要的感知后，课题组中多名一线的数学教师结合来自高校教师的指导和自己对数学教学实践反思[1]，尝试性地提出了“深入学生数学解题思维训练”“将数学解题教学的思维进一步聚焦于数学题目本身”等教学主张[2]，强调有质量的数学解题教学要立足于数学题目的根本.

基于新的数学教学思维，课题组成员在日常的数学解题教学实践中主动走向了对于“数学问题最基础、最根本”的回归，并率先在高中数学课堂中开展了“用题根联结学生数学解题思维”的实践探索. 近3年的实践研究表明，“用题根联结学生数学解题思维”的主张是一种更值得关注的“与解题教学更密切相关的教学主张”，一线教师基于数学解题教学的实践“回归”“寻根”具有十分重要的现实意义和理论价值. 这是因为，数学题根是数学问题的根子，“用题根联结学生数学解题思维”更加注重数学问题及求解中的实质，能引导学生“抓住根本的数学问题”“抓住数学思想方法的根本”. 经由数学题根进行的数学解题思维训练在实践中已部分有效地促进了实验班学生数学核心素养的提高. 参与研究的课题组教师在实践中也真切地认识到，如果自己既能深入地研究、寻探相关数学问题真正的根子，并善于把它们合理地运用于自己的数学解题实践指导，那么，接受指导的学生就可以避免在解题过程中陷入“盲人摸象”的尴尬，不仅有利于数学深度学习的发生，而且有利于经由数学解题实践优化数学思维品质，不断增强数学解题的自信心和积极性.

用题根改进数学解题教学的路径：来自两个案例的启示

尽管数学题根对于数学教学有着较高的价值，但是，研究也发现所谓“较高的价值”并不能自动地在所教学的对象身上实现. 较之于“题根式解题教学”实验的老师最初强调的在数学解题教学中必须要率先明了“立足什么”“关注什么”“教什么”“学什么”， 参加课题研究的老师们后来更清晰地认识到题根教学价值的实现离不开教法设计的有效性，并且这种有效性要以激发学生思维主动性、寻根自主性为价值取向. 实践表明，对于数学题根不当的教法、引导不仅有可能阻碍学生数学深度学习的发生，而且有可能形成暂时性或虚假性的“成效显著”——表面上看，学生对于一类题目解答更加得心应手，但是面对新一类题目则又会“茫然不知所措”. 为了实现数学题根的教学价值，数学教师在利用题根进行教学时，既要重视数学知识、数学思想、数学问题、解题方法的挖掘，又要注意教学方法本身的有效性，尽可能将内容与方法有机融合. 下面结合数列解题教学的两个案例，分析题根式数学解题教学的路径.

（一）善于在对看似简单数学问题的深度思维中寻根

先简单后复杂，是解题教学中一个行之有效的教学路径. 现实的解题教学中，许多师生对这一重要教学路径还不以为然，甚至有着强烈的轻视心理.一些学生拿到了他们认为非常简单的题目立即下手解答，解完了事. 一些教师对于简单的题目在教学中也常常一带而过，他们认为“简单的题目没有玩头”“题目简单，没有什么好讲的”. 然而，复杂本身来源于简单，无论是数学知识的习得，还是数学思维的训练，其有效性往往从简单开始. 对于看似简单的数学问题，数学教师要善于调动学生的数学思维，让学生经由必要的“变化”寻觅数学问题的一般形式，并因此实现数学问题的生根.

在确信学生对于这些一般性结论及其寻探方法有了较为深刻的认识后，C老师给出了新任务：（1）解答2009年全国卷Ⅱ第19题（略）;（2）利用所学“题根”，同桌间进行编题、解题活动——解答对方所编习题，并进行相应评价.

教学分析：美籍匈牙利数学家、数学启发法大师乔治·波利亚在解题教学中曾提出过所谓的“蘑菇理论”，即当解题者找到第一个蘑菇时，如果继续观察就有可能发现一堆蘑菇[3]. 在C老师看来，这句话用于题根教学的指导也是适用的.基于自己“以学定教”“以教导学”的教学思想，有丰富教学经验的C老师没有满足于学生对所布置问题答案的获得，而是在问题获得解答之后将学生的数学思维引向深入，引导学生就一般形式的问题给出自己的分析.在此基础上，师生所发现的就不仅是一堆数学蘑菇，而是那些能够生长数学蘑菇的菌丝，而这种菌丝本质上就是数学问题的根子——一个相对根本的问题. 教师对学生的导学，是一种追求深度学习的导学，是引导学生在解题、理解、回顾和思考的基础上，批判地认识原有的数学问题，建立新的数学认知，提升数学探究的层次，在“寻什么根”上就具体的数学问题展开研究，并将研究结论用于新的问题情境、生成新的数学思考. 由此，C老师的导学不是停留于数学知识的传授，而是突出了学生对所解数学问题的反思，既诱发了学生对探求问题一般形式的兴趣，又拓展了学生更为抽象的数学思维.结合所求根问题是关于数列递推关系式这一问题及相应函数的分类研究，C老师引导学生得到了更为一般性的数学结论，其导学过程也是较好地显现了与所求解习题相关知识的有效整合，有助于学生在今后优化同类问题的解答. “有题无根一潭泥”“有根无法终迷离”，对于数学问题的寻根与题根教法的优化，两者只有有机融合，才能实现有效的数学题根式教学. 后續的跟踪调研表明，正是由于题根式教学有效性的不断提高，才有更多学生在教师引导下获得快速有效的教学反馈，更为主动、积极地投入数学解题实践，更为自觉地将相关数学问题“串成线”“联成体”“生成根”，并因此更为深切地体会到了数学题根的价值.

（二）在思维暴露过程中让题根与解题有效联结

面对一道相对较难的数学解题，一些学生容易因畏难而弃之，并因此形成不好的数学情感、态度与价值观.由此，对数学教师而言，不仅要培养学生“知难而不畏难”的态度，而且要教给学生“攻坚克难”的方法和策略. 由于解题本质上是解题者基于自己的数学现实对当前待解的数学问题进行数学模式的联结化过程，如果将待解数学问题与头脑中一些有价值的数学现实有效地联结，就容易基于题根制定相应的解题方案. 由此，数学教师在解题教学中一个非常重要的作用就是要通过合理暴露自己的数学思维来引导学生寻求、分析自己的一些数学现实，基于数学现实寻探待解数学问题之题根，通过一系列数学化和再创造的过程不断聚焦数学问题的求解思路.

教学案例2：在一个习题课上，几个学生向C老师讨教如下一道问题：设数列{an}的前n项和为Sn. 若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.

教学观察：向C老师问问题的学生说“这道题我们好几个人都弄过了，但好像都不得要领.” C老师看着题目，笑着对学生说：“前一阵子和你们讲‘数学有源，题目有根，你们有没有试着研究一下这个题目的题根？有没有通过题根来把握解题的大方向？”学生说“弄不起来”. C老师说：“那，我们今天就一起来思考、解答.”

“嗯，这是什么样的题目？哟，新概念题！{an}是‘H数列. 乖乖，还真的有点高大上. 怎么弄？大家不要急. 我们把题目再来认真仔细读一下：任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am. 这是什么意思？我以前和大家说过，题有根，本题的根是什么？刚才有同学说不知道，是得好好地想一想. 咦，你们看，我们能否把这个问题与小学里所学的自然数联系起来呢？对！是自然数的特征.任意多个自然数的和还是自然数，这是在小学阶段就能整明白的. 这是不是我们这道题的题根？是！不过，看样子，好像还有个别同学没理解我刚才话的意思.好吧，我来举个例子.

C老师笑着说：“找到了题根，有了思路，第1小题迎刃而解. 好的，我们现在继续攻关第二小问.”“首项a1=1，公差d<0. 若{an}是‘H数列，求d的值”“题目的变化是‘d<0，有了负数的概念，它会引起哪些变化呢？你们有什么建议？”

学生：“C老师，你是不是还是带领我们着眼于题根来寻求解答？可题根是什么呢？”“这个题根就是特殊性，对，可以从特殊性入手来寻求解答.”

C老师和学生共同做了如下的探索：

第2小题解完后，C老师说道：“第3小题可能是相对难一点的题目.我们一起来想办法. 所面对的问题是什么？可能的解题计划是怎样的？得在理解题意基础上思考解题方法.”

教学分析：学生在做题的过程遇到了困难，他们并未知难而退，而是积极主动地寻求任课教师的指导与帮助.面对学生的求助，数学教师不仅明白学生所问数学问题本身具有一定难度，而且明白“教学这样有一定思维技巧数学问题本身就具有一定的难度”，因为，“弄不好，解题教学就会演变为将自己的解法硬塞给学生”“学生很容易食而不化”.和学生相比.教师同样是知难不畏难，关键是如何有效地完成这具有双重难度的解题指导任务.基于“数学有源，题目有根”的认识，教师选择了“现想现推”的解题指导策略，尽管这会有一定的风险，比如，题目做不出来“会挂黑板”“会降低个人威信”，但这样做也有好处，因为通过置身于这种相对危险困难的教学境地，也有利于让学生看清“数学问题寻根的思维过程究竟是如何进行的”“老师本人是如何接受来自学生挑战的”.

一花一世界，一叶一菩提. 无论学生还是教师，对于解题都有其主观性认识和思考，而考察C老师指导学生问题解答的过程可发现，教师所建构的数学思维世界可影响学生的数学思维世界，这种影响实现的前提是教师主动暴露数学问题寻根的思维过程，这种过程既是引导学生基于个人数学现实进行数学化联结的过程，也是基于数学题根进行数学化和再创造的过程. 在这种过程中，师生共同推进的数学问题解答所呈现的数学形态，并非是冷冰冰的数学推理和知识讲解，而是有着教师引导所带来的火热性数学思考. 事实上，在帮助学生寻求解法过程中，C老师并没有立即给出自己的解法，而是“佯装不知”，通过“现想现推”进行积极的数学思维，这不仅暴露了解题中寻根的方法，也暴露了数学模式辨识和问题解决的过程. 综合C老师解题教学指导过程可看出，好的解题教学不仅要有教师在教法上所做的努力，而且要有教师个人在数学水平、解题功底的支撑，而后者的素养越来越显示了重要性，“数学教学的好坏，取决于教师的素养，尤其是他的数学水平.[4]”毕竟，数学题根更多是一类数学问题中的根基或代表[5]，如果没有过硬的知识基础和特殊的数学眼光，将难以发现隐匿于一道道习题中根本性、基础性的东西，自然谈不上数学解题的寻根.

参考文献：

[1]  潘小明.关于数学解题反思及其体验性[J]. 教育导刊，2017（11）：51-54.

[2]  潘小明. 关于数学解题思维的基本认识[J]. 教育与教学研究，2017，31（10）：89-95.

[3]  刘士同. 例题教学中值得一试的“说题活动”[J]. 中学数学教学参考，2001（12）：9-10.

[4]  张乃贵. 研题的思考与实践——以一个数列问题为例[J]. 中学数学杂志，2013（11）：25-28.

[5]  黄坪，尹德好. 高中数学题根[M]. 华东师范大学出版社，2011：前言.