探究源头 善于迁移 追伸思绪——例析抽象函数问题的求解

江西省吉安市第一中学 (343000) 郭天平 张许生

抽象函数是中学数学的一个难点，很多学生对这部分内容望而生畏，难以理解.因此，作为教师在教学的过程中，则更应该注意教学的方式方法.而使抽象函数形象化、具体化、特例化是解决抽象问题的三种重要方法.

一、探究源头揭示本质

求定义域问题是抽象函数最常见的问题，对于这种问题，我们在教学的过程中可以做一个形象的比喻：每一个函数都是一台加工的机器，这台机器只能加工某个尺寸范围内的产品，而表达式f(W)中的W则是加工机器的入口，因此，对于同一台加工机器函数来说，能输入W内自变量的范围是一定的，也即W内整体的范围不变.

点评：求解中经过整体代换，能拓展学生的整体代换能力.

二、善于迁移化难为易

在考察抽象函数问题时，常将某一个或某一类函数的性质描述抽象化，甚至是进行一些变形，从而使学生对这类问题很难找到解决问题的突破口.如果能逆向思维,大胆猜想,迁移出平时已学过的满足这一性质的具体函数，那么参照这个具体函数的相关特征性质，就能很容易地解决要考察的问题.

例3 已知函数f(x)满足：定义在(0,+∞)上的函数，对于任意的x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，当且仅当x>1时，f(x)<0成立.

(1)设x1,x2∈(0,+∞)，若f(x1)

(2)解关于x的不等式f[x2-(a+1)x+a+1]>0.

析解：由条件猜想该函数为f(x)=logax且a>0,a≠1，参照其性质可让问题迎刃而解.

(2)令x=y=1代入可得，f(1)=0.由(1)可知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是减函数，∴原不等式等价于01时，解集为{x|1

三、追伸思绪探寻捷径

赋值法是解决抽象问题的一种重要手段，抽象函数的性质是由条件恒等式给出，可通过赋特殊值将抽象化为具体，从而找到解决问题的突破口.但如何赋值？为什么要这样赋值？需要细心研究，通过追伸条件与条件之间，条件与结论之间所产生的思绪并进行反复试验，才能找到解决问题的捷径.

例5 对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0，则f(2012)=.

评注：赋值法不只是对变量赋予特定数字，有时需要赋予某个特定的代数式，甚至是两者相结合.

抽象问题的求解对学生抽象思维和创新能力更高层次的要求，研究抽象问题必须回到抽象的源头——具体，在教学过程中可充分利用好各种手段，大胆创新使抽象问题具体化，这样学生才能学得轻松，理解深刻，求解时就能得心应手.