泰勒公式在高考试题中的命制分析

福建省泉州市第七中学 (362000) 彭耿铃

近年来，国家高考试卷中带有高等数学背景的压轴题经常出现，这主要源于两个因素：一是高考试题要考查学生的创新学习能力，这就需要有一个比较公平又有区分度的知识背景，而高等数学的一些内容可以通过初等数学的方法和手段解决，是考查学生进一步学习高等数学潜能的良好素材；二是高考命题组成员为大学老师，他们在命题时受自身研究高数背景的影响，因此一些具有高等数学倾向的问题逐步走进高考.事实上高等数学中“泰勒公式”经常通过改编而成为高考试题、各地模拟质检的压轴题目，从而考查学生的数学学科素养.本文特精选几道以“泰勒公式”为背景的高考压轴题进行分析，希望读者有所启示，并预祝能在高考中胜出！

尽管这道高考试题的设计来源于高等数学的“泰勒公式”，但命题者提供的方法最终还是中学所学的导数知识加以解决，但是我们如果利用“泰勒公式”来解题，则解题的思维会更加流畅、更容易接近问题的本质.因此老师们在日常的教学中，应引导学生经历用不同的思想、方法去探究、解决数学本质问题的来龙去脉，培养学生更自然的解题策略，使得解答更臻于完美，真正地提高学生的解题能力！以下是几道以“泰勒公式”为背景的高考同类变式题.

变式1 (2014年全国新课标Ⅱ理科21题)设函数f(x)=ex-e-x-2x.

变式3 (2014年福建高考理科20题)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的极值；(Ⅱ)证明：当x>0时，x2

变式5 (2010年课标高考全国卷理科21题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

变式6 (2010年课标高考全国卷文科21题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.

作为中学老师和对数学特感兴趣又学有余力的优秀学生，我们应该自觉主动接触一些基本的高等数学知识和方法，尤其是高等数学的“泰勒展开式，极限方法的应用，不动点问题，函数图像的凸性，中值定理，二阶常系数线性差分方程”等与中学数学有着千丝万缕关系的经典问题，才能胸有成竹，居高临下，决胜于高考！