基于核心素养的递推数列直观表示

浙江省平阳中学 (325400) 何龙泉

本文所述的递推数列是指由递推式an+1=f(an)在给定首项a1后得到的数列，其中f(x)为x的函数.这类数列有一个很好的性质，就是数列的项能够在数轴上直观地表示出来，特别是用几何画板能动态地演示数列的变化，从而可观察、归纳数列的性质，并进一步给出证明.考虑到直观想象素养养成的需要，这种表示对于理解数列是有重要意义的.

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养[1]，包括借助空间形式认识事物的形态变化和运动规律.数列的这种直观表示是直观想象这个界定的一种很好阐释.

1.递推数列直观表示的理论基础

(1)当|k|>1时，an→∞(n→+∞)，趋向于正无穷还是负无穷由x1的符号决定.进一步，我们有：当k>1，且a>m时，数列{an}递增；当k>1，且a

(2)当|k|<1时，an→m(n→+∞).具体地说：当0m时，数列{an}递减；

当0

(3)当k=-1时，{an}是一个周期为2的周期数列.即a2n-1=a，a2n=b-a.

(4)当k=1时，{an}是公差为b的等差数列，an=a+(n-1)b.

以上这些结论都是容易证明的，更容易在坐标系里直观的表示.下图1和2分别是当0m时，和当-1m时两种情形.

图1 图2

由于递推式an+1=kan+b是由迭代an+1=f(an)和函数f(x)=kx+b构成.把a1代入函数解析式得到a2，以图1为例，为作图和行文方便，在x轴上以a1为横坐标的点，就简记为a1，过a1作x轴垂线，与f(x)图像交于一点，由于该点的纵坐标为a2，记该点为a2，过a2作y轴的垂线，交直线y=x于A，则A点的横坐标、纵坐标都是a2.过A作x轴的垂线，垂足的横坐标是a2，这样我们就把a2标注在x轴上.依此类推，可以把递推数列{an}的各项对应的点标注到x轴上.这个方法原来是动力系统[2]中的方法，后来被引入到中学数学的研究中[3]，大大拓宽了对递推数列的研究，特别是利用几何画板或Geogebra，能直观的看出数列的很多性质，从而进行证明.这正是数学素养中的直观想象.

上述例子只是一种特殊情况，事实上，上例中

|k|<1这种情况下数列的性质具有一定的普遍性，为了方便，我们给出下面定理.

定理设x0是函数f(x)的不动点，则当|f′(x0)|<1时，通过迭代an+1=f(an)(a1在x0附近)得到的数列{an}极限存在，并以x0为极限.反之，当|f′(x)|>1时，通过迭代an+1=f(an)(a1在x0附近)得到的数列{an}不收敛于x0(注意：定理中f′(x0)是导数).

定义设x0是函数f(x)的不动点，则当|f′(x0)|<1时，称x0为稳定的不动点，当

|f′(x)|>1时，称x0为不稳定的不动点.

才能保证不动点是稳定的.

当|f′(x0)|=1时，情况比较复杂，上面的递推式已表现出这种复杂性，而其它的递推式，则更为复杂.

2、递推数列直观表示的实例

我们通过实例来说明如何直观地表示数列.

图3 图4

(2)由{an}递减，知道a-1>0，即a>1.

图5

我们当然还可以研究更深入的性质.

这就像数学开放题一样，在给定条件下有很多结论.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，上面的例子生动地展示了直观想象的这几个方面.直观想象也是探索和形成论证思路进行数学推理、构建抽象结构的思维基础[1].

三、递推数列直观表示的教学价值

通过以上两个典型实例的分析，我们已经看到了数列在数轴上直观表示的两种(都是收敛的)典型情况，并且通过a1的变化，可以观察到数列性质(如单调性，敛散性等)的相应变化.进一步发现和提出新的问题、并分析和解决(证明)问题.

在教学中若能充分利用递推数列的这种直观，在作图、观察中养成思考习惯，可以发现数列新的性质，激发学习兴趣.我们再看下面的问题.

数列{xn}满足x1=a，xn+1=uxn(1-xn)(u为非零参数)，我们来初步探讨一下这个数列的性质，由于其性质如同一个大花园里的花朵一样过于丰富多彩[2]，这里仅摘几朵欣赏.

图6 图7

通过这个过程，学生不仅能看到数列的动态变化，落实直观想象素养，提高逻辑推理能力，提升数形结合的能力，发展几何直观，增强运用几何直观思考问题的意识，形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质.