数形结合思想在高中数学教学中的应用研究

龙君

摘 要：随着新课程改革的不断进行，高中数学课程内容变得更加多样化，加强了对数形结合思想的应用。在数学学习的过程中，要注重理解数和形的相互转化关系，培养学生的数学直觉，从而能够更好地利用已有的数学知识，帮助学生更快地找出解决数学问题的途径，从而提高学生的数学水平。

关键词：数形结合思想;高中数学教学;应用研究

1 数形结合思想方法概述

所谓数形结合思想方法，就是充分利用数学解题过程中数和形两种思想方法的关系，通过数和形的相互转化，来达到简化解题步骤的作用。数和形是数学中的两个重要元素，数指的是数学中跟数量有关的关系和概念，形就是用来表现数学关系的图形。从形中看出数，充分理解数形结合的相关概念以及内涵，找到数或形更加简单的替代形式，从而使数形结合的效果更加突出。

2 数形结合思想方法的使用原则

2.1 双向性原则

所谓双向性原则，指的就是在对数学题目的数和形进行分析的时候，要同时分析数、形两个方面，而不是单独分析数或形。通过对比数、形之间的对应关系，从而从中找出数形结合思想方法的应用出发点，找出能够解决问题的途径和方法。在使用双向性原则的过程中，要明白把数和形结合起来分析的思想，而不是分析数就仅仅分析数，分析形就仅仅分析形，二者相结合，对照起来分析，找出其中的突破点，从而找出解决问题的途径。

2.2 等价性原则

所谓等价性原则，就是指数学题目中的数和形能够形成一一对应的对比，从而为数和形之间的转化提供了依据。通常情况下，题目中的数或形都有一定的缺陷，因此在使用数和形进行相互转化的过程中，充分发挥数和形的等价性，才能够使题目的条件变得更加完善，从而帮助对题目问题的解答。在实际的解题过程中，数和形的等价性会经常用到，学生只有充分理解数学中数和形的本质，才能够充分发挥数形结合的作用。

3 高中数学教学中数形结合思想方法的应用

3.1 数转形

高中数学中的内容有些非常抽象，仅仅靠计算和推演具有一定的困难，而转化为图形就能够豁然开朗。数转形是一种非常有效的解题方法，训练学生数转形的思维，能够使学生在解题过程中有更多思路，从而更好地实现灵活运用自己所学的知识。如下题：设方程|x2-1|=k+1，根据k的不同取值，讨论方程有多少解。

在本题的分析过程中，可以把原方程转化为两个函数，即：y1=|x2-1|、y2=k+1，分别在坐标系中画出两个函数的函数图像，根据k的取值范围，画出两个函数图像不同的情况。所画图像如图1所示。

解析：由k的取值范围来判断两个函数的交点个数，从而判断原方程的解的个数。当k<-1时，两个函数没有相交;当-10时，两个函数相交于两点。由题意可知，两个函数相交的点的个数就是原方程的解的个数，通过对k的取值范围的讨论，即可得知原方程解的个数。

通过对以上立体的解析，可以得知数形结合思想方法在解决方程的根的个数方面十分有用，能够使原本复杂的讨论得到简化，让学生能够一目了然地明白解题的方法，激活学生的数学思维，使学生在解题的过程中能够更加得心应手。数转形是一种十分重要的数学方法，学生要能够从代数问题中看出图形的影子，从而更好地实现数转形的过程，使数学问题得到简化。

3.2 形转数

有些时候，使用代数方法解题要比形象的图形解题容易。在解题的过程中，圖形有时候不能够展现充分的信息，仅仅依靠图形无法在解题方面找到充分的方法，而且图形解题无法保证结果的精确性，因此可以将图形转变为代数，从而更好地实现对解题思路的扩展。如下题：设f（x）=x2-2ax+2，当x在[-1，+∞）间取值的时候，f（x）恒大于a，求a在什么取值范围时满足条件。

解析：首先用图形把题目表示出来。f（x）=x2-2ax+2>a在-1≤x<+∞时恒成立，因此可以设g（x）=x2-2ax+2-a>0在-1≤x<+∞时恒成立。根据Δ的取值范围分两种情况画出g（x）=x2-2ax+2-a的大致函数图像如图所示：

如图所示，图2是△=4a2-4（2-a）<0的情况，此时能够满足f（x）恒大于a，解得a的取值范围-20，a<-1解得，a的取值范围-3

通过以上的解题过程可以看出，对于一些题目而言，代数方法比图形方法要简单，因此学生要学会从图形中看出代数解决的途径，从而能够更好地找到解决问题的办法。在进行形转数的过程中，学生要能够抓住题目中的每一个已知条件进行分析，从而更好地通过形转数完成对题目的求解过程。

3.3 数、形的结合应用

高中数学题目有时综合性较强，在单独使用数转形和形转数的过程中，都无法完全实现对题目的解答，总是存在一定的数和形条件缺失的情况，从而导致题目无法解答。其实，高中数学中的很多问题都需要数和形结合起来应用，才能够充分展现数形结合的思想，使问题得到有效解决。例如，对于一些函数问题，可以通过函数解析式的分析和推导来得到关于函数的精确结果，通过对函数图像的分析来使题目变得更加主观易懂，函数解析式和函数图像的结合应用，能够使数学题目得到更加充分地分析，从而保证找到数学题目的解题方法。

在高中数学中，应用数、形结合最多的地方是一次函数、二次函数和三角函数，其中，直线、圆等函数解析式以及函数图像的应用中数形结合思想方法的应用较多，如下题：点M（x，y）是圆（x-2）2+y2=3上的任意一点，对（x-y）的最小值与最大值进行求取。

解析：设方程x-y=b，将方程转化为函数y=x-b，通过对临界情况的讨论，求解（x-y）的最大值和最小值。如图4所示。

由上面的分析过程可以知道，高中数学中的很多题目都需要通过数与形相互配合的解题方式来得到解决，从而简化解题过程。通过将这种抽象思维和形象思维相结合的方法，使学生的数学解题过程能够变得更加多样化，也更能够帮助学生深入了解数学的本质，从而加深对数学的理解。

4 总结

数形结合思想能使学生形成一种数形相互转化的思维习惯，培养自身的观察能力以及数学直觉，从而更好地利用数形结合思想方法使自己的数学能力得到提高。老师在数学课堂重要注意对这种数形结合思想的强化，采用更多的方式来加强培养和训练，使学生牢牢掌握关于数形结合思想的相关应用，从而提高自身的数学成绩。

参考文献

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[2]丁然.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].数学学习与研究，2015（3）：44-44.

[3]裴晓.数形结合思想方法在高中数学教学中的研究与实践[J].中学时代，2014（23）：101-101.