高中数学问题教学的再思考

☉江苏省海门中学 邓 杰

“看过问题三百个，不会解题也会问.”这句俗语将问题设疑在课堂教学中的地位描述得清晰而透彻，事实上，高中生的学习特点也需要教师在课堂教学中设置疑问，以解决问题为核心开展的课堂教学能够帮助学生更好地排除学习中的障碍、提升处理问题的能力.

一、问题教学的实质与意义

教学的艺术在于激励、唤醒和鼓舞.这句话是著名的教育家第斯多惠提出的，创设问题情境的实质也正在于此.学生在教师有意创设或引入的问题情境中往往会产生身临其境的感觉，对于问题的思考、知识的探究与把握也会因此变得积极而有热情.

传统的教学模式对于学生自主发现与提出问题往往是较为忽视的，重复训练学生的解题能力使学生的创新意识与能力的发展受到了很大阻碍，事实上，从学生数学素养的发展层面来看，问题的提出比问题的解答更有意义.问题情境的创设能使学生的思维活动得以苏醒，学习的内驱力得以激发，能使学生以探索者的姿态积极投入到问题的发现与探索中并获得数学素养的全面发展.

二、问题教学的基本形式

1.悬念式问题教学

悬念这一有效激发学生学习的心理机制能持续刺激学生的学习热情，学生产生积极心理状态的同时也会产生更加活跃的思维与丰富的想象.因此，“思起于疑，有疑始有进”这一理念在问题情境中的渗透也就变得尤为必要了.教师在实际教学中可以适当地设置一些超出学生认知范围的问题，使学生在疑惑中进行多方位、多角度的思考，在感受学习探究的过程中切实地获得知识与能力的双重发展.

案例1：平面向量（教学片断）.

笔者在平面向量的教学中所设计的某一问题情境：已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π.

问题1：若，求向量的夹角；

问题2：若AC⊥BC，求tanα的值.

学生主动探究知识的欲望在上述问题的创设中得到了有力地激发，这对于后续的教学来说是强有力的铺垫.

2.质疑式问题教学

学生只有在疑问的促使下才会有摆脱习惯与权威的意识和冲动，并最终在好奇心与求知欲的共同作用下提出独特的见解.因此，教师在具体的教学中可以根据由易到难、由特殊到一般的认知过程进行问题的设置，使学生能够在质疑的思考中进行问题的主动探究并最终提升数学学习能力.

案例2：数学问题（与方程根的数量有关）：方程log2x=x2-2x+1有______个实根.

A.1 B.2 C.3 D.4

笔者根据学生的认知特征设计了以下问题情境：

问题1：已知方程log2x=x2-2x+1，则方程的根可直接求得吗？

问题2：方程的两边可否用函数进行表示呢？

问题3：可否根据你所表示的函数分别指出它们是什么函数呢？

问题4：可否根据你所表示的函数在同一平面直角坐标系下作出其图像？

问题5：这两个函数的图像的交点所表示的含义是什么呢？

问题6：可否求方程的根所在的大致区间？

由易到难的递进式质疑使学生在各个问题的分析中实现思维活动的步步深入.

3.矛盾式问题教学

学生在知识、经验、能力、思维方式上的差异往往导致不同见解的产生，因此，教师应能准确攫取学生对同一事物的认知差异并进行矛盾性问题情境的设置，使学生能够在辩论的思维火花中获得逻辑能力与辩证能力的发展.

案例3：已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过该抛物线焦点的直线l与抛物线相交于A、B两点，若A、B两点的纵坐标分别是y1、y2，求证：y1y2=-p2.

学生在一定的分析与思考后发现，此题的证明可以运用常规法、斜率关系、定义、平面几何等多种方法.笔者在学生成功解题之后给出了以下问题情境：

问题1：若A（x1，y1），B（x2，y2），求x1x2的值.

问题2：如果抛物线的焦点是C，直线l的倾斜角是α，则线段AB的长和△ABC的面积分别是多少？

问题3：求证抛物线的准线与以AB为直径的圆相切.

矛盾式问题情境在教学中的有效创设令学生的探究欲望得到了很好地激发，学生也因此在自我解题、小结与反思中养成了全面而科学的思维习惯.

三、注意事项

（1）不能忽略以学生为主体的思想.教师在设计问题时应首先对教学目标与重难点进行研究，使学生能够在自主学习、探究与合作中进行观察、思考、实践与总结.

案例4：推导等比数列前n项和公式.

“错位相减法”一直是推导等比数列前n项和公式的重难点所在，即便有的学生能够理解，但这种理解也是突兀而生硬的，笔者在这一内容的实际教学中进行了以下问题情境的设计.

问题1：你能求出Sn=1+2+22+…+2n-2+2n-1的值吗？

问题2：大家可还记得我们之前学过的等差数列求和中的“倒序相加法”？可以运用这一方法进行求和吗？

学生作答：由Sn=1+2+22+…+2n-2+2n-1，则Sn=2n-1+2n-2+…+22+2+1，相加得2Sn=（1+2n-1）+（2+2n-2）+…+（2n-2+2）+（2n-1+1）.

学生很快发现各组的和不尽相同而导致解题无法继续.

问题3：请对问题1进行猜想，大家能否给出一个较为合理的表述呢？

学生作答：S1=1，S2=1+2=3，S3=1+2+22=7，S4=1+2+22+23=15，…，于是猜想：Sn=2n-1.

问题4：我们将Sn=2n-1和Sn=1+2+22+…+2n-2+2n-1进行比较，大家能否发现其中的规律？

学生作答：从已知中构造出新的等式并利用加减消元法将中间项消去即可.

由Sn=1+2+22+…+2n-2+2n-1，①

得2Sn=2+22+23+…+2n-1+2n，②

②-①得Sn=2n-1.

教师在步步为营、层层推进的教学中应该对“制造”错位相减的过程进行强调并帮助学生更好地理解与掌握其中的奥秘.

问题5：大家能根据上述方法推导出等比数列{an}的前n项和公式吗？

问题6：假如等比数列的公比q等于1呢？

拘泥于教材进行本节课的教学是不行的，本课的教学应着眼于学生认识问题的规律并利用特殊的等比数列求和的问题作为铺垫，引导学生在这一系列的猜想、比较与分析中归纳出“错位相减”法，使问题最终退回到一般状态并顺利得解.学生在深刻经历、体验公式推导的过程中进行数学思想方法的总结，思维品质与理性认识都会得到有意义的发展.

（2）营造民主和谐的氛围.教师应尊重学生的认知规律与人格并对其进行引导、鼓励、表扬与赏识，使学生能够在获得充分尊重的同时与教师形成一种合作、和谐的关系.不仅如此，教师对学生的评价也要全面并尽量对学生的每个闪光点进行肯定与放大，使学生的自尊心与自信心在得到充分呵护的同时能够更加积极地将生活与学习联系起来，这对于学生的学习与成长来说是意义巨大的.

（3）教师应将课堂演变成学生张扬个性、施展才华的舞台，使学生在更加积极的状态中提出更多具有创造性的意见，不仅如此，教师在实际教学中还应对课堂教学的陈规陋习进行大胆破除，允许学生争论并作出有意义的引导，使学生能够在知识生长的过程中获得更有意义的理解与体悟.学生的主体意识一旦受到充分的呵护与尊重，就会在学习中激发出更多的创新灵性，学生的参与意识、探求欲望、独立意识也都将因此得到更有意义的锻炼.因此，教师在具体的教学中应对学生的思维挫折进行充分的关注，设计适当的质疑并使学生在问题的引领中更加自觉地对问题形成思考与探究.只有这样，学生才会在数学学习中变得更加鲜活而灵动，才会在数学学习中尽情地彰显出自己的个性与创造力.

总之，课堂教学活动、学生对数学意义的思考都需要合适的问题情境的促进才会焕发鲜活与灵动.教师创设问题情境时应考虑到针对性、层次性、现实性、适度性、拓展性与启发性等特点并尽量为学生提供更为充足的探究空间，使学生能够在更多的学习主动权中经历问题情境、建立模型、解释或应用等活动过程，并最终在问题的探究中获得学习效果与能力的双重进步.