谈高考中双变元最值题的破解

☉浙江省磐安中学 曹桂菊

在历年的高考题、竞赛题、自主招生题及各类模拟题中，经常会碰到涉及求解双变元或多变元代数式的最值或取值范围问题.此类问题往往以双变元或多变元的等式条件给出，进而求解对应的代数式的最值或取值范围，结合如何从已知条件中的等式入手，并与所求的代数式加以有效联系，难度较大，思维方式变化多端，破解方法有时也多种多样.下面结合一道双变元代数式的最值题来加以实例剖析，从多角度切入，多方位破解，进而达到殊途同归的目的.

一、问题呈现

【问题】已知正实数a，b满足，则2a+b的最小值为______.

本题以复杂的形式给出两正实数所满足的等式，进而求解相应代数式的最小值问题.这类问题一直备受命题者的青睐，特别是已知等式的多样化设置，既可以提升题目的难度，又可以为破解指明方向.关键是如何在已知条件下，通过认真审视试卷，在不同视角下，得到该题的不同解题思维与对应的精彩解法.

二、多解思维

思维方法1：待定系数法.

根据题目中的已知条件整理得到ab2（a+b）=4，设出2a+b=k＞0，可得代入已知关系式中消去参数a得到（k2-b2）b2=16，由此借助关系式的转化或方程的建立，从基本不等式角度、方程的判别式角度来确定k的最小值，从而得以利用待定系数法破解代数式的最值.

解法1：由，可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），整理得ab2（a+b）=4.令2a+b=k＞0，则有0，将代入ab2（a+b）=4，则有，整理可得（k2-b2）b2=16.下面从三种角度进行求解.

角度1：基本不等式法1.

角度2：基本不等式法2.

角度3：方程的判别式法.

将b4-k2b2+16=0视为关于参数b2的一元二次方程，且b2＞0，而判别式Δ=k4-4×16≥0，可得k4≥64.

思维方法2：平方法.

根据题目条件整理得到ab2（a+b）=4，结合这一定值条件，利用所要求解的代数式2a+b的平方转化，从不同的角度利用基本不等式来确定（2a+b）2的最值，再结合2a+b＞0进而利用平方法来破解代数式的最值.

解法2：由可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），整理可得ab2（a+b）=4，下面从两种角度进行求解.

角度1：基本不等式法1.

因（2a+b）2=4a2+4ab+b2=4a（a+b）+b2≥当且仅当4a（a+b）=b2，结合ab2（a+b）=4，即b=2，a=时等号成立.

角度2：基本不等式法2.

思维方法3：方程法.

根据题目条件整理得到ab2（a+b）=4，进而转化为关于参数a的一元二次方程b2a2+b3a-4=0，结合求根公式得到参数a关于b的关系式，代入所要求解的代数式2a+b，通过转化，利用基本不等式来确定其最值，进而巧妙地借助方程法破解代数式的最值.

解法3：由，整理可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），故有ab2（a+b）=4，将b2a2+b3a-4=0视为关于参数a的一元二次方程，且a＞0，而判别式Δ=b6+16b2＞0，则以上方程有两个不相等的实根.

思维方法4：换元法1.

根据题目条件整理得到ab2（a+b）=4，借助所要求解的代数式2a+b进行合理换元，令a=x＞0，a+b=y＞0，求解x，y的关系式代入ab2（a+b）=4，将其转化为含有参数x，y的关系式，结合关系式的巧妙变形与转化，并借助基本不等式来确定最值（x+y）2≥8，结合2a+b=x+y＞0进而利用换元法来破解代数式的最值.

解法4：由，整理可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），故有ab2（a+b）=4，令2a+b=a+a+b=x+y，其中a=x＞0，a+b=y＞0，可得

由ab2（a+b）=4，可得xy（y-x）2=4，即，则有，所以当且仅当，即xy=1时等号成立，则有（x+y）2≥8.由于2a+b=x+y＞0，所以有2a+b=x+y≥2，当且仅当xy=a（a+b）=1，结合ab2（a+b）=4，即b=2，a=-1时等号成立.

思维方法5：换元法2.

根据题目条件加以巧妙换元，令x=ab＞0，y=a2＞0，进而转化已知条件，得到含有参数x，y的关系式，进而得到关于y的表达式0，借助所要求解的代数式并结合（2a+b）2进行处理与巧妙转化，并借助基本不等式来确定最值，结合2a+b＞0进而利用换元法来破解代数式的最值.

解法5：令x=ab＞0，y=a2＞0，由，可得，整理可得，则知x∈（0，2），则有

而（2a+b）2=4a2+4ab+b2=4y+4x+b2=当且仅当即时等号成立，由于2a+b＞0，所以有2a+b≥，结合，当且仅当b=2，时等号成立，

通过对以上涉及双变元代数式的最值问题的破解，借助待定系数法、平方法、换元法等方法，利用基本不等式、方程等相关的知识加以交汇与综合，从而得以巧妙处理，正确破解，方法各异，奇思妙想，切入点不同，破解策略多样.其实，涉及求解相应的双变元代数式的最值或取值范围问题时，其相应的思维方法值得我们学习与系统掌握，并在此基础上举一反三，巧妙应用，学会灵活变通，学会拓展提升.