例谈分类讨论思想在高考函数压轴题中的渗透

☉海口中学 刘 兵

分类是我们认知事物的必要过程和手段，是自然科学研究中的基本逻辑方法.当我们研究的对象不能按照某一个特定的规则来统一衡量时，就需要对所研究的对象按照一定的标准进行分类，分别研究每一类对象的性质特征，把整体问题分割化，把复杂问题简单化，最后再进行整合.因此，分类讨论的本质是辩证法中一分为二、一分为多的唯物主义思想，对培养学生客观、科学、辩证地认知事物大有裨益.

下面结合高考中常遇到的含参问题进行剖析，并阐述如何进行分类讨论.

考查方向一、讨论函数的单调性问题

讨论函数的单调性问题是导数压轴题中的重点问题、热点问题以及难点问题.这类问题往往是讨论不等式f′（x）＞0与f′（x）＜0的解的情况，其中会涉及的主要类型有：（1）方程f′（x）=0有无（增）根；（2）方程f′（x）=0的根的大小比较.

例1（2017年全国卷Ⅲ节选）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性.

分析：先求函数的导数并进行因式分解，再根据各个因式的符号变化来讨论函数的单调性.

解：由题意可知f（x）的定义域为

（1）若a≥0，则f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增.

综上可知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.

评析：本试题第（Ⅰ）问的设计主要针对大部分考生，只要会准确运用求导公式进行求导及因式分解，从而找到导函数f′（x）的零点即可.本题的关键是在求导后的因式分解部分，这决定了后面能否正确地进行分类讨论.考虑到x＞0，因式（x+1）＞0恒成立，故f′（x）的符号完全受因式（2ax+1）控制.在令f′（x）=0后得到2ax+1=0，进而得到x=

解此方程过程中就会出现两个问题：

考查方向二、讨论函数的零点问题

函数的零点问题是近年高考压轴题中的热点问题之一，它涵盖了函数作图、图像变换及等价转化等基本的技能，也考查了学生对函数与方程、化归与转化等基本数学思想方法的应用，能充分检验学生对有关函数章节知识的理解和数学基本功.函数的零点问题主要涉及以下几个方面的相互转化：函数的零点、方程的根、曲线的交点.而转化的方向往往是将一个复杂的超越函数拆分为两个初等函数，或者是将一个含参函数通过分离参数等手段变成一个常数函数与一个不含参的普通函数.解决这类问题的一般模式是：确定函数的定义域→讨论函数的单调性→探究函数极值的符号→结合零点存在性定理得出最后的结论.这类题一般以中高档题为主.

例2（2018年全国卷Ⅱ节选）已知函数f（x）=ex-ax2.

（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a的值.

分析：解决含参函数的零点问题通常有两种手段：其一，通过直接讨论函数的单调性和极值符号，进而利用零点存在性定理即可得到结论.其二，可以采取分离参数法，将含参函数转化为常数函数与一个不含参函数的交点问题.结合x∈（0，+∞）的条件，本题已具备了分离参数的条件.

解：函数f（x）=ex-ax2=ex（1-ax2e-x），令p（x）=1-ax2e-x，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点等价于p（x）在（0，+∞）上只有一个零点.

（1）当a≤0时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）不存在零点.

（2）当a＞0时，p′（x）=ax（x-2）e-x，由于x＞0，故令p′（x）＞0，可得x＞2；令p′（x）＜0，可得0＜x＜2.故p（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增.所以p（x）在x=2处取得最小值p（2）=

考查方向三、含参恒成立问题

含参恒成立问题也是高考中的热点考查内容之一，主要考查函数的综合性质，其中蕴含了多种数学思想方法，能客观地反映出学生的数学基本功，同时也能考查学生分析问题和解决问题的严谨性.这类问题的本质是考查函数的最值问题，由于含有参变量，函数的最值往往会受参数的影响，问题的关键就转化为研究参变量是如何影响函数最值的，只要这点讨论清楚便可顺利解决问题.

例3（2016年全国卷Ⅱ节选）已知函数f（x）=（x+1）·lnx-a（x-1）.

（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围.

分析：解决含参恒成立问题的一般逻辑是：探求充分性，证明必要性.f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即f（x）min＞0，转化为研究函数f（x）的最小值问题.

解：由题意可知，+1-a，则g′（x）=，故g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立.所以f′（x）在（1，+∞）上单调递增.而f（1）=0，所以要使得f（x）＞0恒成立，只需使f′（1）=2-a≥0，即a≤2.

一方面，当a≤2时，f′（x）＞f′（1）≥0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，且f（1）=0，所以f（x）＞0；

另一方面，当a＞2时，f′（1）=2-a＜0，且当x→+∞时，f（x）→+∞，则必存在x0∈（1，+∞）使得f′（x0）=0，从而当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，x0）上单调递减，而f（1）=0，所以f（x）在（1，x0）上小于0，这与条件矛盾.

综上所述，a的取值范围是（-∞，2］.

评析：在探求充分性时，一般结构为∀a∈M，f（x）＞0，往往从最简单的情形入手，如函数单调时的情况成立；证明必要性，若f（x）＞0，则a∈M.这个命题的证明往往难度比较大，采取的手段则是证明该命题的逆否命题成立，即证若a∉M，则存在x0，使得f（x0）≤0，采取正难则反的手段，往往可以收到良好的效果.因此，在含参恒成立问题中的分类讨论目标比较明确，就是讨论结论恒成立和不恒成立这两种情形.

总之，任何一种数学思想方法的渗透都是通过具体的数学问题来实现的.分类讨论既是一种数学思想，也是一种解决问题的方法，可以和其他思想方法相互穿插渗透，如与数形结合、函数与方程等思想结合，形成综合性极高的考题，这对学生的数学基础提出了极高的要求.因此，只有平时夯实基础，才能体会到数学思想方法的本质和精髓.