高中数学教学中“一题多解”对学生思维能力的培养

☉山东省博兴第二中学 赵鲁辉

在时代的发展中，数学教学创造性思维的培养越来越重要，而“一题多解”的教学对学生思维的拓展和发散性思维的训练有很重要的作用，对提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力同样起着不可忽视的作用.学生进行“一题多解”的过程是学生对高中数学新旧知识融会贯通的体现，教师要重视在习题演练过程中一题多解的应用，在新课程改革的浪潮下充分发挥学生的主体性作用，变思维定式为多角度、多层次、多方位思考.

一、通过“一题多解”培养学生的观察力和想象力

在高中数学学习中敏锐的观察力和数学想象力都很重要，前者是思维能力培养的首要因素，后者是思维能力培养的翅膀.对于观察力来说，教师在设计课堂教学时要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求，同时教师要充当引导者对学生进行观察与指导.比如要指导学生根据“一题多解”对题目进行观察，教授学生有效的观察方法，同时指导学生及时地对观察的结果进行分析与总结等.在高三复习阶段数学想象力的培养非常重要，“一题多解”的专题化训练对于学生想象力的培养至关重要，但前提是要求学生要有扎实的基础知识，只有对教材中的基础知识掌握透彻了，思维能力才能得到最大开发.学习也要有地基，方法很重要，没有地基也建不成高楼大厦.培养学生的想象力，首先，要使学生学好有关的基础知识；其次，根据教材及专题化训练，为学生提供有效的情境带入，带领他们的思维进行拓展，提供想象的空间，诱发学生的创造性想象；最后，还应指导学生掌握一些想象的方法，像类比、归纳等.

二、通过“一题多解”培养学生的发散思维和诱发学生的解题灵感

通过一题多解培养学生的发散性思维.在高中数学教学中，教师需要加强一题多解、一题多变、一题多思的教学.近年来新课程改革越来越重视对高中生数学思维能力的培养，特别是随着开放性问题的出现，学生的思维能力得到有效提高，同时也增加了课堂教学的灵活多变，各种以学生为主体的教学方法层出不穷，“一题多解”就是其中较为有效的一种.

三、通过“一题多解”课堂引入谈思维能力的培养

在高三的最后冲刺阶段，有效的复习很重要，现用三角函数专题“一题多解”的开放视角引导学生进行探索.

师：已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin2A+sin（A-，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为角A，B，C所对的边，则下列不等式成立的是（ ）.

C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24

对于这道题你们觉得应该怎样来求解？

生：将条件sin2A+sin［（C-B）+A］=sin［（C-B）-A］+展开整理可得2sinA［-cos（C+B）+cos（C-B）］=⇒

故abc=8R3·sinAsinBsinC=R3∈

排除C，D.

因为b+c＞a，所以bc（b+c）＞abc≥8，故答案选A.

师：你们回答得很好，那你们思考一下作为△ABC的内角，∠A，∠B，∠C满足什么条件？sin2A+sin（C-B+还可不可以发生变化？

生：三角形的内角和是180度，所以题目中的等式还可以转化为

师：那么你们觉得这道题还可以怎么解呢？

师：其实我们在学习教材内容时，有很多新旧知识是衔接的，在解三角函数题时角的转化很重要，那么同学们也学习过和差化积，将题目中的等式进行和差化积后变为=sin2A+2cos（C-B）sinA=2sinA［cosA+cos（C-B）］=4sinAsinBsinC.

那么你们想一下这道题能用和差化积解吗？

师：其实我们遇到三角函数题时经常能通过和差化积进行解决，只是需要同学们对学到的知识点进行归纳总结，特别是新旧知识的综合应用，不能将思维只停留在教材的某一个节点上.在进行解题时要思考三角函数中的射影定理、正余弦定理可以用来求解此题吗？例如这道题：在△ABC中，，边a，b，c满足，求tanC的值.利用射影定理进行解题代入，得tanC=2.明显步骤省略很多，也为解题节省了很多时间，要知道在数学考试中时间是很宝贵的.那么同学们思考一下，除可以应用射影定理之外，还能应用正、余弦定理进行解题吗？

师：是的，正弦定理的应用使解题也更为容易.要知道我们若用传统的方式来解这道题，步骤明显较多.还有这道题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求角A.

解法一：由正弦定理可知，所以，即sinAcosC=sinB+sinBcosA.

又因为在△ABC中，sinB=sin［π-（A+C）］=sin（A+C），sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，所以sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinBcosA，即cosA（sinC+sinB）=0.

又因为在△ABC中，sinC＞0，sinB＞0，所以cosA=0，即

这道题同样能用正弦定理进行求解，同学们也看出来了，笔者写的是解法一，那么这道题肯定有其他的解题思路，在教三角函数时老师讲解了很多方法，你们应该能想到了吧！

生：（思考后）还可以运用余弦定理进行解题.

老师觉得大家已经掌握得很好了，但是有一句话说的好，“学无止境”，数学有很大的魅力，它可以放飞我们的思维，这条路走不通，我们就走另外的路，我们一定不能固定我们的思维模式，代数的转化及相似比同样可以应用到我们三角函数的解题思路中来.大家课后一定要对课本知识进行归纳总结，真正做到融会贯通，相信你们会有意想不到的收获.

生：我们通过小组讨论总结了一下这堂课所学的解题思路.总体思想是在三角函数的解题中，我们要考虑到基础定理的运用、三角形中角的转化、射影定理，以及相似三角形的相似比、数形结合思想的建立，我们知道对于三角函数的解题思路肯定不止这些，在今后的学习中会不断巩固自身的基础知识并对经典例题进行归纳总结，就像老师所说的学无止境嘛！

四、总结

在数学教学中，教师还要鼓励学生多问自己“这道题只有这种解法吗？除了这种解法是否还有新的解题方法？这种方法是最简洁的解题思路吗？这道题和我学到的哪些知识点可以进行联系？”学生的思维能力的培养是在多问、多思、多练、多看的过程中不断形成的，而教师的作用就是通过“一题多解”的总体思路来引导学生这种思维能力的不断提高.