与相等值点坐标有关的范围问题

☉江苏省兴化中学 朱自梅

☉江苏省兴化中学 顾 卫

许多高考压轴题是函数题，函数题的类型比较多，其中有一种类型是与函数的零点、极值点等相等值点的坐标有关的范围问题，虽然这种类型的题难度大，不易求解，但是仍然存在解题规律，下面就举例探讨一二.

类型一：函数的极值点

例1已知函数f（x）=xlnx-，若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2.

证明：由，得f′（x）=lnx-mx.因为函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），所以导函数f′（x）有两个零点x1，x2.所以

小结：极值点是导函数的零点，因此先求导函数，从而得到x1，x2满足的条件，进行比值代换，引进变量t，用t表示lnx1，lnx2，将二元变量问题转化为一元变量问题，分析待证结论，将待证结论转化为证明关于t的不等式，再构造函数，利用导数证明.

类型二：函数的零点

例2已知函数f（x），若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：x1+x2＞2.

证明：因为函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），所以

小结：由x1，x2为函数的零点得到x1，x2满足的条件，进行比值代换，引进变量t，用t表示x1，x2，将二元变量问题转化为一元变量问题，分析待证结论，将待证结论转化为证明关于t的不等式，再构造函数，利用导数证明.

类型三：函数值相等的点

例3已知函数，其导函数为f′（x），若存在正实数x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2），求证：

证明：由f（x1）=f（x2），得，设（t＞1），则，所以etx1=tex1.两边取自然对数，得tx1=lnt+x1，所以所以由f（x），得，所以当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减.所以要证明即证明，即证明只需要证明设g（t）=lnt-则，所以函数g（t）在区间（1，+∞）上单调递增.所以g（t）＞g（1）=0.所以当t＞1时成立，即

小结：由函数值相等得到x1，x2满足的条件，进行比值代换，引进变量t，用t表示x1，x2，将二元变量问题转化为一元变量问题，分析待证结论，将待证结论转化为证明关于t的不等式，再构造函数，利用导数证明.从上面的例题可以发现，构造含lnt的函数，当lnt的系数为1时，证明会更简便.

类型四：函数图像的交点

例4已知函数，若函数f（x）与函数g（x）的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1x2-x2＜a＜x1x2-x1.

证明：因为函数f（x）与函数g（x）的图像交于A，B两点，所以

综上所述，实数x1，x2满足x1x2-x2＜a＜x1x2-x1.

小结：由A（x1，y1），B（x2，y2）为两个函数图像的交点，得到x1，x2满足的条件，进行比值代换，引进变量t，用t，x1表示a，代入待证结论，将待证结论转换为证明关于t的不等式，再构造函数，利用导数证明.

相等值点本质上都可以看作两个曲线的交点，因而它们有相似的特性，可以用比值代换这种统一解法：列等式，进行比值代换，引进新变量，将原变量用新变量表示，分析待证结论，得到需证明的结论，再构造函数，利用导数知识加以证明.