抛物线的阿基米德焦点三角形问题及其应用*

☉福建省石狮市石光中学 林建森

抛物线的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.特别地，抛物线过焦点的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的特殊三角形称为阿基米德焦点三角形.有关抛物线的阿基米德焦点三角形问题在近几年高考等试卷中时有出现.了解涉及抛物线的阿基米德焦点三角形的一些基本性质，对于解决相应问题很有帮助，其可以更加快捷地处理相应问题，也能有效地拓展知识面.

一、结论展示

抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，弦AB过焦点F，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则△PAB就是阿基米德焦点三角形.该阿基米德焦点三角形有以下几个基本性质：

（1）点P必在抛物线C的准线上；

（2）△PAB是以P为直角的直角三角形（即PA⊥PB）；

（3）PF⊥AB.

根据抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质，可以用其破解很多与之相关的抛物线问题，从而使问题的求解变得简单快捷，易于操作.

二、应用问题

1.三角形形状的判定

例1已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，弦AB过焦点F，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则△PAB的形状为（ ）.

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.随点P位置变化前三种情况都有可能

分析：常规方法是设出直线AB的方程，与抛物线方程联立确定两端点的坐标，结合导数的几何意义确定两切线l1，l2的方程，进而求解交点P的坐标关系式，结合直线的斜率公式及两直线垂直的关系加以分析.此过程比较烦琐，解答起来比较费时，而结合阿基米德焦点三角形的基本性质，基本可以达到“秒杀”的效果.

解：结合抛物线的阿基米德焦点三角形的性质，可知△PAB是以P为直角的直角三角形.

故答案为B.

点评：利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来判定对应的三角形的形状，不但处理起来比较简单，而且效果良好.

2.直线位置关系的判定

例2已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，弦AB过焦点F，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则直线PF与弦AB所在的直线的位置关系为（ ）.

A.相交但不垂直

B.相交且垂直

C.平行

D.相交但是否垂直随点P位置变化而改变

分析：常规方法也是设出直线AB的方程，与抛物线方程联立确定两端点的坐标，结合导数的几何意义确定两切线l1，l2的方程，进而求解交点P的坐标关系式，结合直线的斜率公式及两直线垂直的关系加以分析.若直接利用阿基米德焦点三角形的基本性质，则更为简单快捷.

解：结合抛物线的阿基米德焦点三角形的性质，可知PF⊥AB.

故答案为B.

点评：利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来判定两直线的位置关系，可以很好地确定其相应的垂直关系，避免了繁杂的运算过程，节约时间，提高效益.

3.线段长度的求解

例3已知F为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，设|AB|=q，则|PF|的值为______.（结果用含q的代数式表示）

分析：设出|AF|=m，|BF|=n，结合阿基米德焦点三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，得到|PF|2=|AF|·|BF|=mn，进而由抛物线的焦点弦性质的变形与转化来确定|PF|的值.

解：设|AF|=m，|BF|=n，则有|AB|=m+n=q，由阿基米德焦点三角形的基本性质可得PA⊥PB，PF⊥AB，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由抛物线的焦点弦性质，可得，则有，则有

点评：利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质，以确定相应的三角形的形状，结合直角三角形的射影定理加以转化与应用，从而提升效率，拓展思维.

4.三角形面积的破解

例4已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，弦AB过焦点F，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则△PAB的面积的最小值是______.

分析：设出弦AB所在直线的倾斜角θ，结合抛物线的极径公式得到|AF|与|BF|的三角表达式，再利用阿基米德焦点三角形的性质来确定|PF|的三角表达式，通过三角形的面积公式来进行转化，结合三角函数的图像与性质来确定最值即可.

解：设直线AB的倾斜角为θ，不失一般性，根据抛物线的对称性，不妨设由抛物线的极径公式可得，可得|AB|=.由阿基米德焦点三角形的性质可得PA⊥PB，PF⊥AB，结合直角三角形的射影定理有即当且仅当cosθ=1，即θ=0时，△PAB的面积取得最小值为p2.

故填答案为p2.

点评：利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质，结合抛物线的极径公式及直角三角形的射影定理，有效转化三角形的面积关系式，进而转化为有关的三角函数问题，结合三角函数的图像与性质即可有效破解.

5.最值问题的应用

例5（2019届四川省成都市高三模拟·16）已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则的最小值为______.

分析：设出|AF|=m，|BF|=n，结合阿基米德焦点三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，得以|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由抛物线的焦点弦性质的变形与转化得到m+n=mn，结合条件通过均值不等式的应用，利用配凑法来确定的最小值.

解：设|AF|=m，|BF|=n，则有|AB|=m+n，由阿基米德焦点三角形的基本性质可得PA⊥PB，PF⊥AB，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由抛物线的焦点弦性质，可得，变形可得m+n=mn，即|AB|=|PF|2=mn，结合均值不等式，可得，当且仅当，即mn=16时取等号，所以的最小值为6.

故填答案为6.

点评：利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质，结合抛物线的焦点弦性质及均值不等式，能很好地达到转化与应用，进而为求解复杂关系式的最值问题奠定基础，有效拓展思维，提高素养.

在破解一些相关问题时，如果能够巧妙地借助抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来处理，特别在解答一些选择题或填空题时，不失为一种很好的方法.灵活借助抛物线的阿基米德焦点三角形相关的基本性质，可以很好地处理问题，从而有效提升学习的宽度与深度，提高数学效益，培养数学素质，提升思维品质.