教,为了更好地学
——浅谈RMI原理驱动下的高三数列综合复习课
2019-01-16
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(镇海中学,浙江 宁波 315200)
2017年底,笔者应邀在福建省福州市第一中学开设了一节以“数列搭台,函数唱戏”为课题的高三数列综合复习课.本节课以RMI原理为驱动,从函数观点认识数列问题,揭示数列问题的函数本质.人民教育出版社章建跃博士在点评中给予了充分的肯定,并就高考复习课的评价标准、高考综合复习课的“综合”含义、高考综合复习课的核心是思维等方面进行了详尽地论述.笔者受益匪浅,在此与大家分享笔者的实践与思考.
1 RMI原理简介
所谓RMI原理,是“关系—映射—反演”原理的简写,徐利治先生在《数学方法论》中谈到:RMI原理是一种分析处理问题的普遍原则,它属于一般方法论性质范畴的一种工作原理,普遍适用于解决数理科学与工程技术科学方面的有关问题.在生活中,女性化妆的完成,遵循的是一条“人的脸部→像的脸部→像画完妆→人画完妆”的路线.这一日常行为的过程,本质上蕴含着一个重要的思维模式——RMI原理,即关系→映像→反演[1].
2 RMI原理在教学中的实践
本节课是在学生已经完成数列一轮复习后开设的综合复习课.何为综合复习课?章建跃博士在点评中的这一发问,引起了大家的思考,他认为:一方面,教师准备综合复习课时需要有知识的综合贯通、观点的归纳、思想方法的相互联系,正所谓联系出思想;另一方面,学生学完这节课后,能够提高从不同角度看问题并选择最优方法解决问题的能力.
因此,在综合复习课中,教师在授之以鱼的同时,更需要授之以渔.而RMI原理作为重要的思维模式,笔者希望借助数列问题来阐明其原理的运用过程,从而通过教师的教促使学生触类旁通,更加主动地进行学习,最终使得我们的高考复习更具系统化.
2.1 以本为本,重识数列问题
数学教学是使静态的书本知识内化到动态的学生数学思维中去思考和认识的过程,只有在教学中关注知识产生的背景、关注数学的来龙去脉,才能让学生感受到数学是自然的,从而自主提出问题.这样不仅让学生学习数学变得轻松,而且有利于激发学生的探究意识[2].
在人教A版《数学(必修5)》数列章节中,定义完数列的概念之后就重点描述了数列与函数的关系:数列可以看成以正整数集(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(其中i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),……
学生在重拾课本的过程中,逐步明确了本节课的主题.顺势,笔者抛出上述第6)个函数影子,以此作为引例.
正所谓实践出真知,通过这个引例让学生初步体会用函数观点解决数列问题的优越性.
2.2 以熟题为例,联系函数获新知
《普通高中数学课程标准(2017版)》提出:有效的数学学习活动不能单纯地依靠模仿与记忆,动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式[2].在学生的心中埋下函数观点的种子后,笔者以常见的问题为例,引导学生归纳用函数观点解决数列问题的基本步骤,从而体会RMI理论在数学解题中的实践与应用.
例1设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S5=20,S10=-10.
1)求S9的值;
2)求使得n·Sn最大的序号n的值.
(2013年全国数学高考新课标卷Ⅱ理科试题第16题改编)
第1)小题,学生给出了两种解答方法:
第2)小题,即求数列{-n3+9n2}的最大项是第几项.学生同样给出了两种解答方法:
解法1令bn=-n3+9n2,通过数列单调性的定义,相邻项相减作差,得到数列{bn}在1≤n≤6,n∈N*时单调递增,在n≥7,n∈N*时单调递减,故使得n·Sn最大的序号n=6.
解法2令f(x)=-x3+9x2,通过求导,得到f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,6]上单调递增,在[6,+∞)上单调递减.考虑到g(n)=-n3+9n2是特殊的函数,其在1≤n≤6,n∈N*时单调递增,在n≥7,n∈N*时单调递减,故使得n·Sn最大的序号n=6.
通过这个问题的解决,让学生熟悉用函数观点解决数列问题的基本步骤:首先,将数列问题转化为特殊的函数问题;其次,用函数方法解决这个函数问题;最后,将得到的函数结论反演成数列结论.这就是RMI原理在数学解题中的应用.
维果斯基在最近发展区理论中指出:教学应着眼于学生的最近发展区,为学生提供带有难度的内容,调动学生的积极性,发挥其潜能,超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平,然后在此基础上进行下一个发展区的发展.本题的第2)小题就是带有难度的内容,如何有效地解决学生的这个疑问,是突破本节课难点的关键.
此时,学生们陷入了沉思.
既然从代数角度无法解释,笔者引导学生从几何角度进行思考.于是就有了如下的解释:等差数列{an}的图像是对应一次函数f(x)图像上的散点.如果将定义域n∈N*拓展到x∈R,那么(5,f(5)),(5.5,f(5.5)),(6,f(6))这3个点都在一条直线上,满足
f(5)+f(6)=2f(5.5),
于是
a5+a6=2a5.5,
在学生熟悉的问题上设置变式,引发学生思考,并通过生生探究、师生交流共同解决问题,提升认识,这是高三复习课的正确打开方式.同时,通过这一问题的解决,让学生进一步体会运用函数观点解决数列问题的优越性,并对RMI原理的应用有更直观地认识.
(人教A版《数学1(必修)》第83页第二章复习参考题B组改编)
笔者在巡视教室的过程中,发现很多学生毫无头绪,只是简单地列出了
S19=a1+a2+…+a19,
还有些学生则在进一步代入通项公式后,发现了其中的规律,结果如下:
S19=a1+a2+…+a19=
生2:上述式子中,首尾两项相加为定值,即
一般地,
从而通过“倒序相加求和”的思想方法,得到
可得S19=19.
正当学生们笑逐颜开、不断称赞生2时,笔者带领学生进一步挖掘问题的内涵,继续抛问.
学生似乎还未从刚才的数列问题中反应过来.
生3:f(x)+f(-x)=2,说明函数f(x)的图像关于点(0,1)中心对称.
师:这一函数中的性质与本题数列中的结论有何联系呢?
师:函数的对称性与等差数列的“倒序相加求和”思想方法又有何联系呢?
生6:其实不只是等差数列,只要任意数列的图像是中心对称图形,它都可以用倒序相加法求和.
上述几位学生一系列的回答将本节课推向高潮,学生们都情不自禁地鼓掌.相信这样的掌声是发自学生内心的,是对原有的旧知识能获得这样的新认识感到惊叹.课后,有一位学生向笔者反馈:数列与函数的关系以前略知一二,但没想到联系如此紧密,用函数的观点认识数列问题太神奇了,太有意义了!
同时,在RMI原理驱动下,用函数观点认识、思考、解决数列问题的模式已在学生脑海里留下了深刻的烙印.
例4已知递增数列{an}满足
其中a>0,且a≠1,求实数a的取值范围.
正当课堂氛围达到高潮之时,例4恰到好处地起到了“降火”的作用.学生们的思考再次回归理性,理解数列作为特殊的函数,其特殊性到底在哪里.