三维ECT系统正问题仿真

李岩 李翔宇 于道洋

摘 要：电容层析成像具有非侵入、抗干扰、安全性好等一系列优点。但以往ECT系统仅能获得流体二维成像图形，再通过二维截面累加形成三维图像，并不是实际意义上的三维图像。针对这个问题，从理论分析角度，运用数值分析与泛函建立三维ECT数学模型，利用MATLAB脚本程序对数学模型的结果进行计算，并与ANSYS仿真结果进行比对。实验结果证明三维ECT数学模型计算结果能够满足工程应用的要求。

关键词：电容层析成像;三维ECT数学模型;等价变分;伽辽金加权余数法;有限元分析

DOI：10.15938/j.jhust.2019.05.020

中图分类号： TP391.4

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2019）05-0122-06

Abstract：Electrical capacitance tomography （ECT） has many advantages， such as non-invasion， anti-interference， and security. In the past， the ECT system can only obtain two-dimensional images of fluid， and the three-dimensional images formed by the accumulation of two-dimensional cross sections are not three-dimensional images in actual sense. To solve this problem， this paper from the view of theoretical analysis， used numerical analysis and functional to establish a 3D mathematical model of ECT. Meanwhile we utilized the MATLAB script to calculate the results of the mathematical model， and compared with the simulation results of ANSYS. The experimental results show that the 3D ECT model can meet the requirements of Engineering applications.

0 引 言

通常将科学研究以及工程应用中的问题分成两大类：正问题（也称正演问题）和逆问题（也称反问题或反演问题）[1-3]。正问题（forward problem or direct problem）是指对于某些物理过程或现象，若已知该物理过程的分布，可根据系统状态变量的某些特性条件（如初始条件或边界条件等）确定整个系统状态变量的变化规律;而逆问题（inverse problem）则是指依据观测数据和模型反演确定被研究对象的模型参数[4]。

对于ECT正问题通常是指在采用狄利赫利（Dirichlet）第一类边界条件，且已知空间内任意一点的介电常数分布函数ε（x，y，z）的条件下，利用有限元法及变分原理求解电势分布函数（x，y，z）的过程。

1 ECT系統敏感场数学原理

由于ECT系统为敏感场，测量值受多相流介电常数分布函数的影响[5]。传感器的结构复杂性和被测场域内的介电常数部分不规则，解析法和有限元差分法不适合ECT正问题的研究，而有限元法既能求解非均匀线性电位场，也可求解似稳场，只要网格划分精细，即可获得较精确的数值解，进而从电位值求出电容的自容和互容值[6]。

因此本文采用有限元法，利用泛函的变分公式将电势分布函数（x，y，z）离散成适合计算机求解的矩阵形式，并利用伽辽金法（Galerkin）在一定间隔内消除误差，提高解的精度。

由麦克斯韦电磁场方程可知， ECT为静电场模型，且场域内不存在自由电荷，即电位移矢量的散度处处为零，敏感场内任一点满足[7-8]：

2 三维ECT系统正问题的研究

在文[6]和文[10]中，分别对ECT一维与二维的泛函变分问题和有限元法进行了详细的论述。本节即在两部专著的基础上，针对ECT传感器正问题的三维数学模型进一步论述。

2.1 等价变分问题

先考虑一般情况，下列二阶微分方程式：

2.2 有限单元法

针对其他形式单元格有限元计算结果精度低，求解速度慢等问题，本节论述了10节点的四面体单元的有限元求解方法。对于ECT而言，电势分布函数中的每个节点只有电势一个自由度[10]，因此对于ECT用10节点四面体单元描述电势变化的插值函数可以表示为：

2.3 区域离散法矩阵参数的确定

余差方法需要在一定范围内消除余差，因此在整个系统内，余差和应该为0，则整理式（14）可得：

式中，上角标e为有限元网格划分后的第e个单元格，其他符号同式（15）。

由于系统刚度矩阵K，电势向量与加载向量b待定。需要引入二维区域离散划分中提出的局部编码和全局编码的概念[14]。假设水放置在12×12×12mm3的立方体容器内，且容器壁厚度为0。每个单元网格为1×1×1mm3的立方体。在局部编号中，选择左下角的单元格编号为1的节点作为坐标原点。局部编号方式形如n（1，1，1，1），其含义为单元格位置处在i轴方向第1个单元格，j轴方向第1个单元格，k轴方向第1个单元格的节点编号为1的节点。

全局编号中，选择左下角的点作为1号节点，根据20节点六面体单元的节点划分，i轴上节点编号依次为1，2，…，25，剩下的编号以此类推。全局编号如图1所示。

2.4 静电储能求解电容值

在工程上计算电容值总体来说有两种计算方法，一种是矩量法，另一种为集总电容法[15-18]。但在ECT系统中，一是无法确定带电极板的电荷量，二是集总电容法相对于静电储能法计算精度较低[19]。所以在计算ECT系统电容值时，采用静电储能法。

3 三维ECT系统正问题仿真分析

为了进一步验证数学模型建立的空间电势函数是否与仿真结果相符，设计如下实验：利用ANSYS软件对管道内的流型进行数值模拟，通过对比数学模型的Matlab计算结果，证明数学模型是否正确。

3.1 ANSYS正问题简化模型仿真

传感器方面则采用3组轴向极板组，且每组轴向极板组中有8个径向电极，每组中的两个电极放置在六面体的一个面上，总计3组24个电极板。一个作为激励电极，其余作为检测电极，检测电极极板接地。

图2为APDL中的模型结构、网格划分和加载电压分布的示意图。模型边长为12×12×12mm3，划分网格时每条边平均分成12份，在APDL中映射体形成网格。3组轴向电极组分布如下图所示，其中极板长宽为4×2mm2，相邻极板间隔2mm，激勵极板电压为24V其余检测极板电压为0V，表示极板接地。同时假设理想水立方体绝对绝缘，即立方体内不存在自由电荷。

全水的条件下，实验结果是沿中截面对称的，因此实验提取18个特殊位置点的电势值。同时提取激励电极与其他检测电极的电容值，共23组。图3为提取的电势编号P、电场的节点编号F及各极板编号B，其中B1为激励电极。图中实线与实心点表示为立方体在此位置下所能观察到的节点与极板，虚线与空心点表示立方体背面观察不到的节点与极板。

激励电极与各检测电极之间的互容如下表1所示，编号B1-BX（X=2，3，…，24）表示激励极板与第X号检测极板之间的电容值记录1号激励极板与其他检测电极的电容值如表1所示。

3.2 MATLAB数学模型的验证

采用MATLAB作为验证工具主要因为其强大的脚本语言、完备的符号微积分计算与稀疏矩阵存储方式和奇异值分解函数[20]。

由于假设水立方绝缘，内部不存在自由电荷。真空介电常数ε0=8.8541878F/m，水的相对介电常数为εw=78.36，单元格边长为1mm。根据电势求解方程，编写MATLAB脚本语言， MATLAB计算程序的流程如图4所示。利用静电储能法求解电容值，互容计算结果如表2所示。

通过对比表1与表2的各组数据， MATLAB的程序自容和互容的计算结果与ANSYS的计算结果基本一致，最大误差在0.375%。

4 结 语

本文中完成了对三维ECT系统正问题的研究，主要完成了对以下几个方面的探讨：

1）数学模型的建立。利用麦克斯韦电磁方程组、有限单元法、泛函中的等价变分问题以及数值分析中的伽辽金加权余数法等一系列数学方法，求解出三维ECT系统的数学模型。

2）重要参数的求解方法。利用区域离散法，以及静电储能法给出电势、电容等参数的求解方法。为下一步样本的自动计算提供基础。

3）数学模型的验证。首先利用ANSYS对简化的三维ECT模型进行求解，求出电势以及各极板之间的电容值。然后编写MATLAB脚本程序对数学模型进行验证，结果能够证明ANSYS与MATLAB计算结果的相符。优化数学模型，提高运算效率是下一步研究的重点

参 考 文 献：

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（编辑：温泽宇）