曲径通幽——步入初中数学深度教学

江苏省南京市沿江中学 宋小玲

核心素养下，对于初中数学深度教学，要明确课堂知识与解题能力的发展定位，贴近学生，帮助学生建构数学知识，开展数学深度探究与合作学习。函数与方程是初中数学的教学难点，通过研读教材，把握函数与方程渗透教学思路，从问题探讨、学生启思、解题实践、回顾反思中发展学生数学核心素能。

一、教师研读并且提炼教材，优化深度教学的内容

深度教学关注学生的知识探究与合作学习，要将教学目标放在解决数学问题的基础上。课堂的组织与探究要求教师研读教材，提炼教学重点，构建适合学生探究的学习环境。在学习“二次函数”时，对于概念的引出，我们围绕“石子投入水中，荡起的波纹向外拓展。求圆的面积与半径r之间的函数关系”展开话题讨论，让学生回顾过去所学的知识，认识“二次函数”与一次函数、反比例函数有何差异？在课堂深度教学中，学生的函数视野得到扩展，对“二次函数”概念的理解也逐步深刻。事实上，在课堂探究中，我们还可以结合“二次函数”与“一次函数”进行对比，利用表格来分析各自的特点，放手让学生去思考、去交流、去探索，领会二次函数的意义。认识了“二次函数”，对“二次函数”教学重点的梳理，教师需要研读教材，挖掘课程教学资源。如对于二次函数表达式y=ax2+bx+c的理解，让学生理解二次函数表达式的成立条件是a、b、c都是常数，且a≠0。对照过去所学的一元二次方程的知识，对一元二次方程的理解，可以看作是“y=0”条件下的“二次函数”。也就是说，二次函数与一元二次方程之间具有转化关系，在面对二次函数时，教师要渗透方程思想，让学生理解函数与方程的关系。

二、关注函数与方程思想转化，启发学生深度学习

在初中数学中，函数与方程是教学难点，也是渗透函数与方程思想的集中体现。认识函数，理解方程，就需要从函数模型的构建开始，函数与方程的转化中，联系实际数学问题，启发学生的数学思维，增进对函数与方程知识的认知和应用。联系二次函数表达式，就其图像和性质进行归纳，我们设计问题：对于二次函数y=ax2+bx+c，与方程ax2+bx+c=0 相比，二次函数的图像与x轴交点的横坐标和二次方程的解有何关系？我们在平面坐标系中画出二次函数的图像，激发学生思考：二次函数图像与x轴的交点问题有几种情形？结合教材内容，第一种情形是二次函数图像与x轴无交点，第二种情形是二次函数图像与x轴有一个交点，第三种情形是二次函数图像与x轴有两个不同交点。讨论了二次函数图像与x轴的交点问题，接着，对于二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴在没有交点时，方程ax2+bx+c=0 没有实数根，即Δ=b2-4ac＜0。当二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有一个交点时，方程ax2+bx+c=0 有一个实数根，即Δ=b2-4ac=0。当二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同交点时，方程ax2+bx+c=0有两个实根，即Δ=b2-4ac＞0。可见，二次函数图像与x轴交点的个数，与方程的实根情形是对应的。借助于函数与方程思想，让学生深刻领会二次函数与二次方程之间的转化关系，帮助学生运用函数思想来解决抽象数学问题。

三、引入数学具体问题，发展学生数学关键能力

在函数与方程思想运用中，其重点在于解决实际问题。现实生活中，很多问题可以通过构建函数与方程模型，实现数学问题的解决。二次函数在初中数学中占据重要地位，其变式性、抽象性、应用性特点让学生感到难学、难懂。挖掘生活原型，着眼于学生数学关键能力的发展，对二次函数的顶点式、坐标式、一般式进行模型化塑造，联系学生生活来探究其意义，促进学生从数学学习中获得智慧。如：用12m 长的绳子围成长方形，怎样让长方形的面积最大？如果一边靠墙，长方形面积是18 平方米，问长和宽各是多少米？如果面积为16平方米，长和宽各是多少？如果面积为10 平方米，长和宽各是多少？很显然，该题从立意上强调数学的生活化教学，让学生能够从问题探究中激活数学兴趣，找寻数学解题模型，多方位、多视角感知数学。同时，面对“二次函数”的图像讨论，我们可以结合体育课堂上的投篮活动，分析二次函数图像与方程的关系。投篮是学生熟悉的，抛物线方程又是教学重点，结合投篮活动，让学生联系生活体验，认识篮筐高度、学生与篮筐距离等数据，从投篮体验中来探究抛物线方程的性质，深化对二次函数与图像性质的理解和应用。数学课堂的深度教学要确立核心素养教育目标，关注学生数学关键能力的发展，如建模能力、数学思维能力、解题能力等。通过探究函数与方程实现，丰富学生的数学解题经验，提高数学解题思维，为培养良好数学学习习惯奠定基础。

总之，在函数与方程思想教学中，函数、方程基础知识的学习是最低层次的，要让学生内化函数与方程思想，自主建构数学模型，通过习题演练、课堂探究、解题应用与反思，巩固函数与方程思想的认识。最后，教师要把握解题思维流程，引领学生观察题干，挖掘解题条件；回顾函数与方程思想，提炼函数与方程的关系；运用函数与方程思想，探寻解题思路，发展学生数学综合能力。