巧追问 小台阶 慢步走——例谈平方差公式的教学

江苏省南京市南湖第二中学 周 丽

一、内容和内容解析

1.内容：平方差公式。

2.内容解析：

平方差公式是具有特殊形式的两个多项式相乘得到的一种特殊形式，即两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差。平方差公式的符号表示和语言表述解释了公式的结构特征。公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。平方差公式在代数中具有广泛的应用，它也是后续学习的必备基础，对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础。

二、目标和解析

1.教学目标

（1）会由多项式乘多项式推导平方差公式；

（2）了解公式的几何背景；

（3）能运用公式进行简单的计算；

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能够根据多项式乘法提炼出平方差公式，把握平方差公式的基本结构与特征，并能用多项式乘法法则验证平方差公式。

达成目标（2）的标志是：学生可以通过剪拼等方法完成形状虽然有变化，但是面积相等的几何图形转化，从而理解平方差公式的几何意义。

达成目标（3）的标志是：能用数学语言表述公式内容，当字母表示具体的数、单项式时，能正确使用公式进行计算。

3.教学问题诊断分析

学生刚接触整式乘法公式，经过一段时间的练习和矫正，大部分学生掌握得还不错，平方差公式的特点经过多项式乘法的提炼，学生应该能找到并掌握。

学生在应用公式过程中经常会出现的困难有：（1）不确定是否能用公式；（2）公式右边的被减数与减数颠倒；（3）两个以上字母的单项式的乘方容易出错。

本节课的教学难点是探索平方差公式的过程。

三、教学过程

1.复习

计算：（1）（5x+y）（5x-y）；（2）（a+2b）（a-2b）；

（3）（2n+m）（-m+2n）；（4）（c+d）（-c-d）；

（5）（2a+b）（2a-c）；（6）（3y-x）（-x-3y）。

师生活动：让学生自己计算，并要求板书或者实物投影，检验对错。

师问：观察几个式子计算所得的结果，哪几个项数更少？这些式子有何特征？你有何猜想？

【设计意图：（1）温故。通过复习多项式乘以多项式，巩固多项式乘法法则；（2）知新。让学生在计算中对结果加以比较，并观察发现算式的特殊之处，从而引发思考。让学生体会本节内容与多项式乘法的关系】

在总结多项式特征的时候，学生可能不会表达得很准确，老师可以加以指导。

追问1：为什么这些式子的结果项数会比较少？

追问2：这些式子有相同点吗？有不同点吗？不同点在哪儿呢？

追问3：结果又有什么特点呢？你能构造一个类似的式子吗？

尽量小步子，多台阶，慢步走。试上时，能力薄弱一点的班级学生不会构造类似的式子，我就追问4：那我来构造一个，但我只写一半，还有一半你来补充，（a+b）= 。

学生立即思考开了，有的说（a-b），有的说（b-a）。不急，给学生充分思考纠结的时间，先填写（a-b），问学生：对不对？

追问5：相同项是什么？相反项是什么？结果是什么？

追问6：（b-a）可以吗？有学生回答可以，有同学回答不可以。接着问：有没有相同项？有没有相反项？学生答有。那这样补充可不可以？学生答可以。

追问7：那结果是什么？进而推出今天的课题，今天我们就学习平方差，注意平方差是以结果来命名的，两数的平方差。

追问8：那到底谁是被减数，谁是减数呢？启发学生说出相同项的平方是被减数，相反项的平方是减数。板书平方差公式，让学生说出两者的区别。

（a+b）（a-b）=a2-b2；（a+b）（b-a）=b2-a2。

出示平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。

你能用多项式乘法法则说明（a+b）（a-b）=a2-b2的正确性吗?

【设计意图：让学生体会平方差公式是多项式乘法中的一个特例，进而体会从特殊到一般的数学方法】

用语言描述为：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

特别注意：学生往往分不清哪项是a，哪项是b，也就是说结果是差，那谁是被减数，谁是减数呢？观察特点的时候就一定要说清楚，相同项是被减数，相反项是减数，是用相同项的平方减去相反项的平方。

2.例题讲解

例1 （1）（2a+b）（2a-b）；（2）（x-3y）（-x-3y）；（3）（3ab-mn）（-3ab-mn）。

师生活动：先辨识相同项、相反项，再用公式计算，特别注意积的乘方。（完整板书）

【设计意图：具体体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式】

小练：课本P78 练一练的1。

例2 计算102×98。

师生活动：师生共同分析，如何凑整？符合平方差公式吗？体会运用公式的好处。教师板书。

小练：计算22×18。

例3 计算（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）。

【设计意图：一是平方差公式的甄别和应用（设想的是后面可能学生也会尝试用“错误的平方差”，写成y2-5，并且结果忘记加括号）；二是强调结果的整体性】

活动：利用你手中的边长为a的正方形纸片剪去一个边长为b的（b＜a）的小正方形，这张纸片的面积可以表示为 ，如果只允许你再剪去一刀，你能拼成一个矩形吗？你还能拼成什么形状呢？你有什么发现呢？

【设计意图：此环节在探究中引导学生自主操作，并让不同的学生展示自己的想法，从而让学生在观察与反思中感悟“图形变化，面积相等”，体会变中存在的不变，渗透“数形结合”的思想，从图形中直观理解平方差公式的几何意义】

小结：分享你这节课的收获。

【设计意图：进一步强化学生对公式的理解，知道公式运用的优势，理解特殊到一般、数形结合的数学思想】

作业：作业单P61、62 的目标达成和基础作业巩固。