从“维恩图”到“线段图”

张锦

摘要：数学模型的抽象化，勢必需要具体手段加以辅助。利用维根图，可以形象而直观的表示一些对象的整体性，对于构建加法、减法、分数数学模型起到推动作用。利用线段图的优势则体现在直观清晰建立一一对应、等价、多、少等数学模型上。

关键词：韦恩图；线段图；数学模型；集合；抽象；形象

数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。这种抽象化、简约化，势必需要用形象、具体的手段做辅助，实现其“拐棍”作用。

我们最先想到的往往是线段图，其操作简便易行，且便于分析理解。但对于小学生来说，特别是低年级学生，是否也具有一定的抽象性呢？

在线段图中，一条线段表示的往往是一个量的多少。一条线段也就是一个整体，这里面也就有了集合思想。这种整体性，有时不如用“维恩图”更形象。

维恩图就是把具有某种属性的一些对象，用封闭的曲线圈起来看作一个整体，这个整体就是一个集合，圈内的对象就是集合的元素。用维恩图能为学生构建模型起到很好的推动作用。

数学内容有时本身就是一种数学模型。比如：

自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型；

加法是“合并”、“添加”的数学模型；

减法是“拆分”、“减少”的数学模型；

分数是平均分派物品的数学模型。

上面所说的数学模型是否都蕴含“整体与部分”的关系？这种“整体与部分”的关系是否用“维恩图”更能说明问题？

1.一年级学生“认识10以内的数”，用维恩图表示6个人，6本书，6支铅铅笔……，在此基础上抽象出“6”，学生抽象出自然数是“非空的、等价的”这一数学模型。

2.对于加法，我们不可能给一年级的学生下定义，下面的维恩图是否能帮助学生理解？

（1）求下面图1和图2一共有多少小正方体，用图3帮助学生理解“合并”的数学模型。

（2）如果从图1再增加3个小正方体，变成图3也能帮助学生理解“添加”的数学模型。

3.减法是加法的逆运算，看看维恩图又有哪些作用。

（1）图4，表示的是把一个整体分成两部分，已知其中的一部分，求另一部分，也就是“拆分”的数学模型。

（2）图5，表示的是从一个整体去掉其中的一部分，求另一部分，也就是“减少”的数学模型。

7个

4.有了前面的认识，学生对加减混合的学习，也可以利用维恩图研究：

有了图6，学生理解4+5-3也就不困难了。

5. 分数是平均分派物品的数学模型。平均分就是要把一个整体平均分，表示这样的几份。图7是否能帮助学生理解呢？

上面所说的都是存在“整体与部分”关系的数学模型。老师们可能会想到，在数学上两个量的比较，其应用性更为广泛。比如 ，低年级学生先从“两个量比多少”开始学起，“比”之后，就有同样多、谁多、谁少的结果。

图8，在一一对应中，渗透“等价”的数学模型。

图9，在一一对应的基础上，理解○在与△同样多的基础上，还多出3个，理解“多”的数学模型。

但随着数量的增多，利用维恩图还能发挥作用吗？比如，35个△和49个○比多少，我们难道用维恩图真得要画出35个△和49个○吗？

如果用简约化的维恩图（图10）帮助学生理解，特别是一一对应、等价、多、少的数学模型建立，其二维性，就不如线段图直观、清楚了。这时，线段图就能很好的发挥作用了（如图11、图12）。

这样，学生利用线段图更容易“比”，在“比”线段长短的过程中，“比”出谁多谁少，多多少，少多少。

一个量比另一个量多几（或少几），需要这样去“比”，那关于两个量的“倍数关系”、“分数关系”，就更需要线段图了（如图13、图14）。

教学过程中，需要直观的辅助手段，给抽象化、简约化的数学模型提供形象支撑。但选择的辅助手段合适与否还需要我们深入研究。就像从“维恩图”到“线段图”……

参考文献：

[1] 温寒江.小学数学教学与创新能力培养[M]. 北京：北京科学技术出版社，2006.1：53—72