线性规划问题分类例析

☉河南省商水县第一高级中学 张学言

线性规划问题是几何与代数结合的典型，是每年高考的考点之一.线性规划问题比较常见的题型是选择或填空，有时也会出现在简单的解答题中，考查的重点是在给定平面区域内的目标函数的最值问题，有时也涉及其他相关的题型.

一、区域问题

分析：根据不等式组确定对应的平面区域，通过分割三角形来确定对应的平面区域的面积，进而求解相应的参数值问题.

图1

由于直线AB：x+y-2=0与直线BC：x-y+2m=0相互垂直，则△ABC是直角三角形.

化简得（m+1）2=4，解得m=-3或m=1.

经检验知，当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去.

所以m=1，故选B.

点评：本题考查线性约束条件下平面区域的面积问题.此类问题是线性规划的最基础的问题，正确确定在题目条件下对应可行域的平面区域，进而为进一步正确求解相应的区域问题奠定基础.

二、最值问题

A.-15 B.-9 C.1 D.9

分析：根据题目条件中的不等式组给出的约束条件作出对应的可行域，根据目标函数来确定相应的最值问题.

故选A.

点评：本题考查线性约束条件下已知目标函数的最值（最大值或最小值）问题.利用线性规划来解决目标函数的最值问题的解题关键是：先设出决策变量，再利用图形直观，结合决策变量来确定线性目标函数达到的最大值或最小值问题.

三、距离问题

分析：先根据条件作出对应不等式组的可行域，根据目标函数z=x2+y2表示平面区域内的点（x，y）到原点的距离的平方，通过两点间的距离公式与点到直线的距离公式来分析与求解.

而目标函数z=x2+y2表示平面区域内的点（x，y）到原点的距离的平方，

当取B（2，3）时，目标函数z取得最大值，最大值为22+32=13；

图2

故目标函数z=x2+y2的取值范围是

点评：本题主要考查简单的线性规划，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，概念的理解与运算能力.此类问题往往通过数形结合，把问题转化为求解点到直线的距离、两点间的距离等问题，进而达到求解的目的.

四、斜率问题

分析：根据题目条件作出对应不等式组的可行域，根据斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，数形结合确定相应的斜率的最大值问题.

图3

结合图像直观，可知当点A（1，3）与原点连线时对应的斜率最大，此时可得的最大值为3.

点评：本题主要考查在约束条件下研究线性规划中相应的直线的斜率或斜率的最值问题.此类问题经常结合条件来直接求解相关直线的斜率，有时也通过斜率的几何意义转化为相关等式来求解分式的最值问题，关键是数形结合，通过已知点与可行域内的点的连线的斜率情况加以判定与求解.

五、最优解问题

分析：先根据条件作出已知不等式对应的平面区域，结合目标函数取得最大值的最优解不唯一确定对应的条件加以分析与求解.

解法一：画出可行域，如图4中的阴影部分所示，

则点A（0，2），B（2，0），C（-2，-2），

则 zA=2，zB=-2a，zC=2a-2，

要使对应最大值的最优解有无数组，

只要zA=zB＞zC或zA=zC＞zB或zB=zC＞zA，

解得a=-1或a=2.故选D.

解法二：画出可行域，如图3中的阴影部分所示，则点A（0，2），B（2，0），C（-2，-2），

z=y-ax可变为y=ax+z，

令l0：y=ax，则由题意知，l0∥AB或l0∥AC，

可解得a=-1或a=2.故选D.

点评：本题主要考查在限制条件下线性规划可行域所对应的目标函数的最优解问题.对于封闭区间的平面区域问题，如果最优解有无数多个的情况，那么对应的线性目标函数的直线与可行域的某条边平行.在分析最优解时，一般直接在可行解中的特殊位置加以探讨，通过比较得出最优解.

线性规划问题在高考中的考查有递增的趋势，往往考查的方式是由二元一次不等式组给出线性约束条件确定可行域，求可行域的面积、或确定形状；或者是在线性约束条件下求目标函数的取值范围、最值或取得最值时的点的坐标的确定以及由此衍生出来的其他相关问题，比如直线的斜率、平面距离的最值等问题.W

图4