运用不同解法，开拓思维深度*——以二面角的平面角常见解法为例

☉江苏省宿迁中学 张满成

寻求二面角的平面角是立体几何学习中的难点之一，解决二面角问题的关键是作出二面角的平面角，可使空间问题转化为平面问题来解决.下面结合实例，就初学二面角的平面角时常见的求解策略加以剖析.

一、定义法

根据二面角的平面角的定义，在棱l上取一点A，分别在两个半平面α，β内作AB⊥l，AC⊥l，则∠BAC即为二面角α-l-β的平面角.

例1 在四面体ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB=AC=，BC=2，求以BC为棱、以平面BCD和平面BCA为面的二面角的大小.

图1

分析：关键是取BC的中点E，利用三角形中的各边的关系，确定垂直关系，从而结合定义判定∠AED为二面角A-BC-D的平面角，进而利用三角形全等以及直角三角形中的各边之间的关系求解对应的角度问题.

解：如图1，取BC的中点E，连接AE，DE.

因为AB=AC，所以AE⊥BC.

又因为△ABD≌△ACD，AB=AC，AD=AE，

所以DB=DC，所以DE⊥BC.

所以∠AED为二面角A-BC-D的平面角.

又因为△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形，

又△ABD≌△DBC，所以AD=BC=2，

所以AD2=AE2+DE2，所以∠AED=90°，

故以平面BCD和平面ABC为面的二面角的大小为90°.

点评：利用定义确定二面角的平面角时，关键是找到棱上对应的点，这样可以在相应的两个半平面内准确找到与棱垂直的直线，进而确定二面角.往往此类问题与三角形问题的求解紧密结合在一起来考查.

二、垂线法

根据线面垂直的判定与性质，已知二面角α-l-β，若P∈α，可过P作PB⊥β于B，过B作BA⊥l于A，连接PA（或过P作PA⊥l于A，连接BA），则∠PAB为二面角α-l-β的平面角.

例2 如图2，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为AB，PC的中点.

（1）证明：AB⊥MN；

（2）连接AC，取AC的中点O，证明：平面MNO⊥平面PDC.

分析：对于（1），通过线面垂直以及矩形的性质，把线面垂直与线线垂直加以转化证明；对于（2），关键是利用垂线法，确定平面PDC与平面ABCD所成的角，并结合三角形全等以及线线垂直、线面垂直来证明面面垂直问题.

证明：（1）因为N为PC的中点，O为AC的中点，

所以ON∥PA.

而PA⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD，

所以ON⊥AB.

又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，

所以OM⊥AB，

所以AB⊥平面OMN，所以AB⊥MN.

（2）由（1）知，AB⊥平面OMN，CD∥AB，所以CD⊥平面OMN，CD⊂平面PCD，所以平面MNO⊥平面PCD.

图2

点评：在利用垂线法求解有关二面角的平面角问题时， 关键是注意 “作”（即作垂线）、“连”（连线段）、“证”（证线线垂直），从而确定对应的二面角问题.特别地，对于两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，只要过这一点向棱作垂线，连接两个垂足，即找到对应的二面角.

三、垂面法

根据二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面，可过空间任意一点作平面γ⊥l交l于P点，则γ与两个半平面α，β的交线，即射线PA，PB所成的∠APB即为二面角α-l-β的平面角.

例3 如图3，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.

（1）求证：AB⊥BC；

（2）若设二面角S-BC-A为45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大小.

分析：对于（1），通过面面垂直、线面垂直、线线垂直三者之间的转化加以分析与证明；对于（2），结合平面SAB同时垂直于相应的两个平面加以判定对应的二面角的平面角问题，再结合垂线法来求解对应的二面角问题.

解：（1）证明：作AH⊥SB于H.

因为平面SAB⊥平面SBC，所以AH⊥平面SBC.

又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC，SA在平面SBC上的射影为SH，所以BC⊥SB.

又SA∩SB=S，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AB.

（2）因为SA⊥平面ABC，所以平面SAB⊥平面ABC.

又平面SAB⊥平面SBC，所以∠SBA为二面角S-BCA的平面角，所以∠SBA=45°.

设SA=AB=BC=a，作AE⊥SC于E，连接EH，

图3

所以sin，二面角A-SC-B为60°.

点评：以上求解二面角的平面角问题中，寻找二面角S-BC-A的平面角时用的是垂面法，而在寻找二面角A-SC-B的平面角时用的是垂线法，关键是结合题目中的相关条件，数形结合并结合相关的方法处理相应的二面角的平面角问题.

四、射影法

例4 如图4，已知圆锥P-ABC的轴截面PAB是等腰直角三角形，O为底面圆的圆心，C是底面圆周上异于A，B的任意一点.若二面角A-OP-C的平面角大小为90°，试求二面角A-PC-B的余弦值.

分析：根据二面角的定义先来确定∠AOC就是二面角的平面角，则∠AOC=90°，即OC⊥AB.根据对称性，通过设置圆O的半径R，结合射影面积公式的转化与求解，并利用二倍角公式来分析与转化，进而达到求解二面角的平面角的目的.

图4

解：由已知条件可得PO⊥平面ABC，

而二面角A-OP-C的大小为90°，根据二面角的定义可得∠AOC=90°，则有OC⊥AB.

根据立体几何中的对称性，可得二面角A-PC-B的平面角为θ.

设底面圆O的半径为R，根据题目条件可得PA=PB=PC=AC=R，

点评：在涉及方便求解二面角的一个半平面内某个多边形（一般为三角形）的面积的前提条件下，只要通过条件求解该多边形在另一个半平面内射影的面积，利用射影法来解决有关二面角的平面角问题，往往可以简化求解过程，快捷处理问题.

综上分析，定义法、垂线法、垂面法和射影法是四类比较常见的求解二面角的平面角的几何方法.其实随着后继学习的深入，还有其他的方法可以用来解决此类问题.解决立体几何中的二面角问题，要善观察，勤动脑，多总结，抓住问题的特征，寻找转化途径，找出适当的方法，关于二面角的平面角的求解问题就会迎刃而解.W