例谈构造法解题*

☉四川省内江师范学院数学与信息科学学院 彭玉灵

☉四川省内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林

构造法是指依据数学中的概念和方法按固定程序经有限步解决问题的方法.强化构造思想的训练能够有效提高学生解题的灵活性、准确性、创造性［1］.构造法是一种富有创造性的解题方法，几乎在数学的每一个分支中都有体现，根据数学知识内容的不同，构造法可以分为很多种，如构造方程、构造函数、构造向量、构造不等式、构造图形、构造斜率、构造三角式、构造复数、构造二项式、构造反例、构造对偶式、构造隔板等.

一、构造方程

分析：题目中已知方程都有2个立方和33，53，将33和53分别看成方程的解，构造方程.

解：将33，53视为关于t的方程的两个根

通分得，x（t+63）+y（t+43）=（t+43）（t+63）（t为未知数，x，y为常数），

即t2+（63+43-x-y）t+（43×63-63x-43y）=0.

由韦达定理得到63+43-x-y=-（33+53），

即x+y=33+43+53+63=432.

例2（2010年重庆卷理科）已知函数f（x）满足：f（1），4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=______.

解析：试图寻找f（2010）与f（1）的关系，可猜想f（x）是周期函数.而按周期函数的定义f（T+x）=f（x），只出现两次f，但所给函数方程中出现了四次且含有乘积形式4f（x）f（y），这就考虑将变量y消去，对y赋值，比如取y=1，则得f（x）=f（x+1）+f（x-1），即f（x+1）=f（x）-f（x-1）.①

那么f（x+2）=f（x+1）-f（x）.②

由①+②，得f（x+2）=-f（x-1），即f（x+3）=-f（x），则f（x+6）=f（x）.

故该函数的周期为6，则f（2010）=f（6×335+0）=f（0）.

又令x=1，y=0，得4f（1）f（0）=f（1）+f（1），

评注：此题以抽象函数和函数方程为背景，其解题思路的探究是本题的重点和难点.直觉告诉我们，f（2010）与f（1）似有联系，这自然联想到周期函数，由此猜想：f（x）是周期函数.而所给函数方程中含有两个变量x，y，自然的想法是消去一个，比如取y=1，则得f（x）=f（x+1）+f（x-1），这离问题的解决就比较近了.若考生根据以往经验简单地猜想f（2010）=f（1）=，则是

错误的，这显然是一个陷阱.本题对解题思路的探究提出了很高要求，思维难度很大，其关键是求出函数的周期和f（0）的值.

二、构造函数

构造函数是运用函数思想方法解决数学问题的重要手段.

例3设定义在［1，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x），则f（x）的最小值为______.

三、构造向量

向量是解决数学问题的重要工具.

证明： 构造向量m=（1，a），n=（1，b），则m-n=（0，ab），由||m|-|n||≤|m-n|，得到-|≤|a-b|，即|（fa）-（fb）|≤|a-b（|当且仅当m与n同向共线时，等号成立）.

四、构造不等式

例5设函数f（x）是定义在区间（0，1）上的正值函数，即f（x）＞0对任意x∈（0，1）都成立；不等式≤2对任意x，y∈（0，1）都成立.求证：f（x）必是常数函数.

分析：欲证明（fx）必是常数函数，只需证明（fx）=（fx0）恒成立，其中x0∈（0，1）.又考虑到条件与结论的对称性，可以把x∈（0，1）取为中点，即取x=.问题变为需要证00明）恒成立.又由题设条件可以考虑对x，y赋值并运用二元均值不等式.

因为f（y），f（1-y）均大于0，

因为x，y∈（0，1），所以有故f（x）必是常数函数.

五、构造数列

六、构造图形

构造几何图形是把数的问题转化为形的问题的基本解题策略.

分析：该题初看似乎无从下手，但仔细分析两个根式发现它们可以表示两点的距离之和，由此构造线段来简化问题并得到有效解决.

解：由根式联想到距离，通过拆、凑发现f（x）可化为平方和形式，即有则该问题转化为求点P（x，x2）到点A（2，3）与点B（0，1）距离之和的最小值.画图并经过观察可知，当A，B，P在同一直线上时，|PA|+|PB|最小，其最小值为|AB|.

故（fx）min=|AB|=2.

七、构造斜率

一些具有分式结构的问题，通常可以把该分式看成两点连线的斜率.

设切线方程为y-2=k（x+3），由圆心到切线的距离等于半径得

评注：联想到直线的斜率公式，将函数的最值转化为求斜率k的范围，使问题简洁获解，值得借鉴.

八、构造三角式

九、构造复数

复数具有点、向量、代数、三角等多种表示形式，且复数的几何意义又把数与形结合起来［2］.运用复数能够将复杂的问题简单化，将抽象的问题具体化.

例10 设p，q，m，n∈R+，且m2+n2=1，证明：

证明：设z1=pm+qni，z2=qm+pni，则

评注：从上面例题可以见得复数在解决不等式及极值中的应用，可以简化问题及运算，为解决高考题提供又一策略.

十、构造二项式

例11 已知a，b，c∈R+且a+b+c=abc，求证an+bn+cn＞

十一、构造反例

反例是数学的精良武器.证明一个命题不成立的最好方法是构造出一个反例.

例12 （2018年北京卷文科第4题）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c成等比数列”的（ ）.

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：这里设a=d=2，c=4，d=1，此时a，b，c，d并不能构成等比数列，则可知“ad=bc”是“a，b，c成等比数列”的必要而不充分条件.

评注：此类问题在高考中均可利用构造反例来解决，可以大大减少思考和计算的时间.

十二、构造对偶式

例13 求A=sin220°+cos50°+sin20°cos50°的值.

解析：构造A的对偶式B=cos220°+sin50°+cos20°sin50°，则易得A+B=2+sin70°，