一类圆锥曲线问题的多种视角探究

☉江苏省曲塘高级中学 万海兵

在解答完一道题目后，尝试从不同的视角探究问题的解答、从不同的角度对题目进行变式探究，是帮助学生巩固知识、提升解题能力的有效方式.圆锥曲线问题是实施多解与多变的有效载体.本文以2018年一道抛物线试题为例说明.

引例 （2018年全国卷Ⅰ）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（-2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点.

（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

（2）证明：∠ABM=∠ABN.

圆锥曲线既具有代数方程，又具有几何特征，因此问题的求解常可从代数与几何两种视角入手.另外，由于圆锥曲线具有统一的定义、对称性等，因此可对问题从横向、纵向进行深入拓展，也可对相应曲线进行类比探究.本题虽然难度不大，却是我们探究训练的较好载体.本文对第（2）问加以探究.

一、解法探究

视角1：若∠ABM=∠ABN，则直线BM，BN的倾斜角互补，斜率和为0.

证法1：当直线l的斜率不存在时，易知结论成立.

当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），l：x=my+2.与抛物线方程联立得消去x，得y2-2my-4=0.

又Δ=（-2m）2+16＞0，所以y1+y2=2m，y1y2=-4.

所以∠ABM=∠ABN.

问题得证.

视角2：如图1所示，过点M，N作x轴的垂线，垂足分别为M′，N′.若∠ABM=∠ABN，

图1

证法2：设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令y1＞0，y2＜0.

以下同证法1，过程略.

评析：证法1从所证结论入手，找到两条直线斜率之间的关系；证法2由∠ABM=∠ABN得到两三角形相似.这两种方法，均从几何视角找到了M，N两点坐标之间满足的关系，从而将几何问题代数化.

视角3：若∠ABM=∠ABN，则由平面向量的数量积公式可得，进而将几何问题代数化.

证法3：设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令y1＞0，y2＜0=（x1+2，y1）=（4，0）=（x2+2，y2），

由证法1得y1+y2=2m，y1y2=-4，

，问题得证.

评析：解析几何中，如涉及夹角、垂直等有关的问题，常可借助平面向量数量积坐标公式，将几何关系代数化.

二、变式探究

变式1：设抛物线C：y2=2x，点B（-2，0），斜率为k的直线l与C交于M，N两点，与x轴交于点A.

（1）略.

（2）若∠ABM=∠ABN，则点A的横坐标是否为定值？若是，求出该值；否则，说明理由.

解析：设M（x1，y1），N（x2，y2），l：y=kx+m，显然k≠0.

消去y，

得k2x2+（2km-2）x+m2=0.

又Δ=4（km-1）2+4k2m2＞0，所以

解得m=-2k.

所以点A的横坐标为定值2.

评析：本例将题目的结论与条件互换，即给出角相等的条件，判断直线是否过定点.此类问题的处理策略是：设出直线方程y=kx+m，根据题目条件得出m，k的关系式，再将直线方程表示成“点斜式”，得出直线所过的定点.

变式2：设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），斜率为k的直线l过点A且与抛物线C交于M，N两点.

（1）略.

（2）在x轴上是否存在点B，使得∠ABM=∠ABN？若存在，求出点B的坐标；否则，说明理由.

解析：设B（t，0），M（x1，y1），N（x2，y2），l：x=my+2（m≠0），与抛物线方程联立得消x得y2-2my-4=0.

又Δ=（-2m）2+16＞0，所以y1+y2=2m，y1y2=-4.

，且x1=my1+2，x2=my2+2，

所以t=-2，即点B的坐标为（-2，0）.

评析：本题将结论与条件互换，探究点B的存在性.此类探索性问题的求解，可先假设探究的定点存在，并用参数表示点的坐标，结合已知条件构建含参的方程，进而得出参数的值，即定点坐标.若构建的方程无解，或所得解与已知条件矛盾，则说明满足条件的点不存在.

三、结论探究

结论：设F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AMO=∠BMO.

用以上几种方法可证明此结论，过程略.

类似地，还可以将此结论推广到椭圆和双曲线：

下面用引例中的视角1，对此结论进行证明.

证明：设直线AB：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）.

（b2m2+a2）y2+2b2mcy-b4=0.

由根与系数的关系得由x1=my1+c，x2=my2+c，得

所以∠AMO=∠BMO.命题得证.

请读者自行完成此命题的证明.

综上所述，通过对一道题目从多种不同的视角进行解答、将背景变换进行探究，不仅得到了一般结论，促进了知识体系的形成，也拓展了我们的知识面，提升了解题能力.W