基于学科核心素养视角下的高考试题评析——以2018年高考数学全国卷理科试题为例

☉湖北省黄石市第一中学 杨瑞强

☉湖北省黄石市团城山小学 刘建梁

数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学特征的思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机的整体.因此，一道高考试题往往同时考查多个数学核心素养.为了便于理解，本文在试题考法上进行分析时重点考查一个数学核心素养.

一、数学抽象

数学抽象是对情境中的数量关系与空间形式抽象得到数学研究对象的思维过程.其主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构；用数学语言予以表征.其主要表现在：形成数学概念和规则；形成数学命题和模型；形成数学方法与思想；形成数学结构与体系.

例1（2018年全国卷Ⅲ第8题）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（X=4）

A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3

解析：依题意，该群体的10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X~B（10，p），所以D（X）=10p（1-p）=2.4，所以p=0.6或p=0.4.由P（X=4）

考法评析：本题主要考查二项分布，考查的主要核心素养是数学抽象.解答本题需要学生从实际问题中抽象概括出本题蕴含的概率模型——二项分布模型，理解并关联方差的概念.此类考题有利于学生在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验.学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题.

二、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.主要表现在：发现和提出命题；掌握推理的基本形式和规则；探索和表述论证的过程；构建命题体系；有逻辑地表达与交流.

例2（2018年全国卷Ⅱ第11题）已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）.若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）.

A.-50 B.0 C.2 D.50

解析：因为f（x）是定义域为（-∞，+∞）上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），且f（0）=0.根据f（1-x）=f（1+x），可得f（x）=f（2-x），f（-x）=f（2+x），所以f（2+x）=-f（x），从而f（4+x）=-f（2+x）=f（x），于是f（x）是周期函数，且周期T=4，从而f（4）=f（0）=0，f（2）=f（1+1）=f（1-1）=f（0）=0，f（3）=f（1+2）=f（1-2）=-f（1）=-2.于是f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12×0+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2.

考法评析：本题主要考查抽象函数的奇偶性、周期性，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查的主要核心素养是逻辑推理.在答题过程中，学生逻辑推理素养的具体表现之一就是能够根据题目的已知条件，判断或证明简单的数学命题并有条理地表述论证过程.其关键就是学生需要厘清数学命题的条件与结论之间的逻辑关系.本题解答的关键是将f（-x）=-f（x）与f（1-x）=f（1+x）关联起来，推出函数f（x）的周期T=4，这一推理过程正好锻炼了学生的逻辑推理思维.

三、数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.主要表现在：发现和提出问题；建立模型；求解模型；检验结果和完善模型.

例3（2018年全国卷Ⅰ第20题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解析：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为（fp）=（1-p）18.

令f（′p）=0，得p=0.1.

当p∈（0，0.1）时，f（′p）＞0；当p∈（0.1，1）时，f（′p）＜0.

所以（fp）的最大值点为p0=0.1.

（2）由（1）知，p=0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y.

所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX＞400，故应该对余下的产品作检验.

考法评析：本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、导数的应用、二项分布、决策问题等，考查学生的数据处理能力、运算求解能力，考查或然与必然思想，考查的主要核心素养是数学建模.第（1）问由每件产品为不合格的概率都为p（0＜p＜1），结合独立重复试验，即可求出20件产品中恰有2件不合格的概率f（p），对f（p）求导，利用导数的知识，即可求出f（p）的最大值点p0，注意p的取值范围；第（2）问①利用（1）的结论，设余下的产品中不合格品的件数为Y，则Y服从二项分布，利用二项分布的期望公式、Y与X的关系式求出EX；②求出检验余下所有产品的总费用，再与EX比较，即可得出结论.破解此类题的关键：一是认真读题，读懂题意；二是会利用导数求最值；三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变量的期望值；四是会利用期望值，解决策略型问题.本题数学建模主要体现在两个方面：一是二项分布概率模型，二是函数模型.

四、直观想象

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.主要表现在：利用图形描述数学问题；利用图形理解数学问题；利用图形探索和解决数学问题；构建数学问题的直观模型.

例4（2018年全国Ⅰ卷第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）.

解析：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即正方体中同一个顶点出发的三条棱所在直线与平面α所成的角都相等.如图1，易知平面ACD′满足题意，再将其平移至平面EFGHIJ.

图1

设EF=GH=IJ=x，根据对称性与相似可得FG=HI=JE=-x，故六边形EFGHIJ的周长：L=3·［x+（-x）］=3定值）.

由“在平面几何中，周长一定的多边形中，正多边形的面积最大”可知，当x=时，截面EFGHIJ是正六边形

考法评析：本题主要考查直线与平面所成的角、截面面积的最值，以及学生的化归与转化能力、空间想象能力、运算求解能力，考查的主要核心素养是直观想象.在高考答题过程中，学生直观想象素养的表现：一是能够建立形与数的联系，即利用数形结合思想分析问题和解决问题；二是能够运用空间想象认识事物，分析图形与图形、图形与数量的关系，进而解决相应的问题；三是能够借助几何直观理解问题.解答本题的一个关键是平面α处于什么位置时，正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，解答本题的另一个关键是平面α处于什么位置时，α截此正方体所得截面的面积最大，如果注意到正方体的对称性，不难猜想：当平面α过正方体的中心，且与各棱交点为相应棱的中点时，截面的面积最大，此时截面是正六边形，不难得到正确答案.本题上述解答，充分体现了图形的直观性，具体体现在利用直观性构造出了合理的图形，认清了截面图形的特点.

五、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.主要表现在：理解运算对象；掌握运算法则；探索运算思路；设计运算程序进行运算.

例5 （2018年全国卷Ⅰ第16题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是______.

解法1：f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x-1）

=2（cosx+1）（2cosx-1）.

则f（x）min=f

解法2：因为（fx）=2sinx+2sinxcosx=2sinx（1+cosx），所以f（2x）=4sin2x（1+cosx）2=4（1-cosx）（1+cosx）3=（3-3cosx）（1+cosx）（1+cosx）（1+cosx）

于是

考法评析：本题主要考查三角函数的最值，导数的应用，考查学生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的主要核心素养是数学运算.数学运算是解决数学问题的基本手段，数学运算素养是高中学生应具备的最基本的数学素养.在高考答题过程中，数学运算素养的具体体现就是学生能够在有限的时间内理清题目中的运算对象，依据数学原理，寻求合理简洁的运算途径，运用运算法则解决问题，正确求解并写出规范答案.本题上述三种不同的解答体现了数学运算关键是探索运算思路并设计合理运算程序进行运算，不同的运算思路，可能需要不同的运算程序.

六、数据分析

数据分析是指针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程.主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论.主要表现在：数据获取；数据分析；知识构建.

例6（2018年全国卷Ⅲ第18题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图2所示的茎叶图：

图2

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m 不超过m第一种生产方式第二种生产方式

（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

P（K 2≥k） 0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1 k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 8

解析：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：

①由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

②由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

③由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

④由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

（说明：以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）

（2）由茎叶图知.

列联表如下：

?

考法评析：本题主要考查茎叶图、独立性检验，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查的主要核心素养是数据分析.数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面.在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.第（1）问根据茎叶图的数据特征分析即可得出结论；第（2）问由茎叶图中的数据即可得中位数，根据中位数补全列联表；第（3）问利用K2进行判断.统计图表的数据提取是解决概率问题的基础，常见的统计图表有频率分布直方图、频率分布表、茎叶图、扇形图和条形图等.数据分析主要强调的是运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，构建相关模型，获得结论.

数学学科核心素养是所有学生应具有的最关键、最必要的数学基础素养.数学学科核心素养是数学知识、数学能力和数学态度等的综合表现，数学学科核心素养可以通过接受数学教育来形成和发展.在高考数学命题中聚焦数学学科核心素养符合课程改革的方向，也有利于引导高中数学教学回归到正确的育人轨道上来.