注重概念应用，培养抽象思维

☉南京师范大学第二附属高级中学 朱 斌

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》一书在“课程基本理念”中创新性地提出：“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人的根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养.”进而根据数学学科特点，归纳总结出了高中阶段数学的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.

数学抽象思维是指除去事物的一切物理属性后得到的数学研究对象的思维过程，而数学概念恰是揭示相关事物之间的数量、结构、空间形式等关系的本质属性，两者之间具有一定的关联.而数学概念应用成为培养与提升学生的数学抽象素养的重要环节之一.数学概念应用问题是贯穿整个数学学习的一条主要链条，如何在数学概念应用过程中培养与渗透学生的数学抽象思维呢？本文结合教学实践，通过具体的教学案例来剖析学生数学抽象思维的培养与提升.

二、问题的解决

数学概念完全离不开数学抽象的思维过程，必须从具体事物中区分、抽象出研究对象的本质特征，进而加以抽象概括，从而得以认识和理解研究对象，结合相关数学知识来分析与处理.

1.借助参数引入，开展形式运算

在相应的数学概念应用中，往往借助参数引入，利用字母代替未知数进行运算与转化，把抽象问题加以合理应用.借助形式运算，往往是锻炼学生抽象思维的一种非常有效的方法，也能真正提高学生的核心素养.

例1已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且满足（fx）·f（ （fx）+）=1，则（f1）=______.

分析：引入参数，设（f1）=m≠0，通过单调函数的定义，并分别结合x=1，x=m+1进行形式运算，利用单调函数的性质建立相应的关系式来确定参数的值，进而得以求解（f1）的值.

解：设（f1）=m≠0，否则不满足（fx）·f（ （f x） +）=1.

令x=1时，可得（f1）·（f（f1）+1）=1，即m（fm+1）=1，可得（fm+1）=；

思维剖析：涉及抽象函数及其函数值的求解，涉及函数的单调性、函数的解析式、函数值等问题.解题的关键是如何从抽象函数所满足的关系式入手，通过赋值引入参数，结合形式运算，利用待定系数法、局部换元法、整体换元法等方法来解决，从而达到求解相应的函数值的目的.巧妙渗透数学抽象思维.

2.应用形象思维，认识本质规律

在相应的数学概念应用中，往往应用形象思维，借助形象思维的“踏板”作用，培养学生的抽象思维.形象思维借于抽象思维与本质规律的中间层面，富含有充分的心理活动，通过形象思维的巧妙应用与培养，可以有效认知学科知识，掌握本质属性.

例2 （2018年北京卷文7）在平面直角坐标系中，A（B，C（D，E（F，G（H是圆x2+y2=1上的四段弧（如图1），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tanα＜cosα＜sinα，则点P所在的圆弧是（ ）.

图1

分析：根据题目图形加以形象思维，借助三角函数的概念应用，设出点P的坐标为（x，y），把对应的三角不等式tanα＜cosα＜sinα加以转化，进而确定满足条件的参数x，y的正负取值情况，从而得以正确解答.

解：设点P的坐标为（x，y）.

由题设条件tanα＜cosα＜sinα，利用三角函数的定义可得＜x＜y，解得x＜0，y＞0. （

所以点P所在的圆弧是EF，故选择答案：C.

思维剖析：借助形象思维，并利用三角函数的概念把相应的三角不等式转化为涉及相关点的坐标参数的不等式，结合相关不等式的分析与求解来确定对应参数的正负取值情况即可作出正确的判断.形象思维角度正常切入，抽象思维得以充分展示，求解过程简单有效，优化解题过程，节约解题时间，提升解题能力.

3.注重知识迁移，增强信息沟通

在相应的数学概念应用中，由于数学知识每一部分之间都存在着一定的关联性，往往要注重知识迁移，将所学到的数学知识联系在一起，加以合理迁移，建立信息沟通，加以正确转化，得以知识的联系以及深入探索.

例3（2019届广东省高三六校第一次联考第10题）抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（ ）.

分析：通过抛物线方程得到对应的焦点与准线方程，利用抛物线的定义和梯形的中位线定理，通过知识迁移，转化中点M的纵坐标，并利用图形的特征来确定最值问题.

解：由抛物线y=2x2，得其焦点为F（ 0，），准线方程为y=-.

根据抛物线的定义和梯形的中位线定理，

故选择答案：A.

思维剖析：借助知识迁移，把解析几何问题与平面几何问题加以迁移与联系，题目较为简单，以抛物线为问题背景，巧妙设置定长线段的动态问题，进而来确定定长线段的中点的纵坐标的最小值.巧妙融合直线与曲线，交汇静态与动态，转化定值与最值，具有一定的创新性与应用性.

4.尝试逐层深入，有效解决问题

在相应的数学概念应用中，可以利用抽象思维帮助学生发现真理，解决实际问题.特别是在数学概念应用中，需要一步一步加以合理引导，逐层深入，有效地帮助学生跨越形象思维，学会利用抽象思维来解决问题.

例4（2018届江苏省苏锡常镇二模第14题）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在区间［1，2］上有两个不同的零点，则的取值范围为______.

分析：通过二次函数、零点的相关概念，从二次函数入手转化为相应的零点式，再结合题目条件逐层深入，结合二次函数的图像、不等式的性质等来处理与解决.

解：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在区间［1，2］上的两个不同的零点分别为x1，x2，其中1≤x1＜x2≤2，

则有f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

1）（x2-1）∈［0，1），由1≤x1＜x2≤2可得0≤x1-1＜x2-1≤1.

思维剖析：尝试逐层深入，利用简单问题逐渐向复杂问题的转化，进而达到有效解决数学概念问题的目的.一般涉及二次函数已知零点的分布求解参系数的取值范围问题时，可以使用二次函数的零点式，将参系数化归为零点组合式的取值范围问题，结合题目条件加以转化与应用即可.

三、感悟与反思

其实，数学抽象思维与其他数学核心素养之间既相互独立存在，直接利用于具体问题，又相互融合交汇，形成一个有机和谐的整体，共同用来解决相关问题，而数学抽象思维是其中的一条主线.不仅仅是中学阶段，而是从小学一年级（或更早的学前教育阶段）开始到大学阶段，各个阶段都离不开数学抽象思维的培养与提升，是一个系统不间断的过程.在数学解题过程都可以有意识地加以培养与渗透.总之，在新课标标准指引下，如何在各层面培养与提升学生的数学抽象思维已经成为每一位数学教师的光荣使命，通过不同角度积极实践，形成有效成果，共同交流，共同提高.