高中数学教学中的布白

☉江苏省六合高级中学 汤忠保

“布白”这一源于中国传统国画艺术的词汇运用于数学教学中往往能够达到此时无声胜有声的境界.教师应善于运用这一处理空间问题的重要技能并让学生在一定的空间内展开联想与想象，使学生在教师精心设计的适当布白中获得更加丰富的体验.

一、在教学内容中布白

教师在备课环节中应该对应该讲、应该留着不讲的内容有所筛选与预设，保持教学内容的弹性并让学生在一定的问题中思考、分析与研究继而获得意料之外的效果.值得教师注意的是，“不讲”并不意味着“舍弃”，而是教学中调动学生思维所采用的一种“欲擒故纵”的手段.

案例1 直线与平面垂直的判定.

“课标”在“直线与平面垂直判定定理”的教学上所提出的要求和传统教学相比变化颇大，要求教师采取直观感知、操作确认的方式将判定定理引入学生的思考中，因此，教师应舍弃喋喋不休的讲解与证明并请学生进行证明与思考.

教学设计如下：引导学生将桌面看成平面、笔看成直线进行操作并思考以下问题：

（1）若一直线与平面内的一直线垂直，则该直线与该平面垂直吗？

（2）若一直线与平面内的两条直线垂直，则该直线与该平面垂直吗？

（3）若一直线与平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直吗？

（4）平面内有多少条直线与已知直线垂直才能确保该直线与该平面垂直呢？

（5）“一直线垂直于平面内的两条直线，则其与该平面垂直”的判断正确吗？应该怎样修正呢？

让学生在多个问题的思考与摸索中得出直线与平面垂直的判定定理，锻炼学生动手能力与想象能力的同时也加深了学生对研究对象的理解，学生在充分的自主思考、实验、失误与发现中所获得的学习状态也会是最积极的.

二、在提问中布白

教师在课堂提问时应注意两个“空白”的把握，一个是教师提问之后的“空白”，一个是学生回答问题之后的“空白”.教师提问以后应进行“布白”以保障学生充裕的思考与参与.教师在学生回答问题之后应进行“布白”以促进更多学生的回答或是对问题答案的修正与完善.

案例2 过两直线交点的直线系.

求过直线l1：2x-y+2=0与l2：3x+2y-2=0的交点以及坐标原点的直线方程.

生1：这是不对的，答案也是偶然的，l1、l2两方程相加后常数是0，因此才会产生这一巧合，但如果将l1的方程改成2x-y+1=0，两方程相加就不会得到这样的结果.

生2：我也觉得是偶然，两方程相加并不代表其他直线就会经过它们的交点啊！

生3：两方程相加所得方程肯定会经过两直线的交点，因为这一交点的坐标必然是适合相加后所得方程的，不过，相加后所得常数项是0，也就意味着该直线经过原点，如果常数项不是0呢？所以是偶然的.

师：大家有没有想过使两方程相加后常数项一定是0呢？

生4：将方程改成2x-y+1=0的想法不错，改变系数令方程变为4x-2y+2=0再相加即可.（学生诧异）

师：如果将经过原点改成经过点（1，1），该方法行得通吗？会不会失效？（学生沉默）

师：真的会完全失效？（给学生希望）

生5：将过点（1，1）转化为过原点，将两直线方程改成l1：2（x-1）-（y-1）+3=0和l2：3（x-1）+2（y-1）+3=0，然后再相加就可以了.（学生愕然）

师：那么这一结果究竟是偶然？还是巧合？还是必然呢？

生：有偶然，也有必然.

师：很好，两直线的方程相加所得新的直线必然经过原来直线的交点，这就是此处所说的必然.设两直线方程为l1：a1x+b1y+c1=0和l2：a2x+b2y+c2=0，l1和l2相交于点P，则a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0（λ∈R）表示一条除l2以外并经过点P的直线，即a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0（λ∈R）表示经过l1和l2交点的直线系.

笔者在以上教学过程中注意到了时不时的布白，学生在充分的思辨中观察、分析、比较并不断对结论进行深化与一般化，学生在不断产生的认知冲突中获得了很多书本中没有介绍的知识.

三、在延时评价中布白

案例3 函数的奇偶性.

笔者在高一学生学习函数图像时，在学生观察、归纳得出奇偶性的定义之后，设计了以下练习：

判断以下函数的奇偶性：

（1）（fx）=x2-1； （2）（fx）=2x；

（3）（fx）=2|x|； （4）（fx）=（x-1）2；

（7）（fx）=5； （8）（fx）=0.

在学生自主判断练习的过程中，笔者进行了巡视并发现学生在第（4）、（7）、（8）题上有不同反馈.笔者没有当场作出指导或纠正，而是继续保持沉默，有的学生又联想到作图并修改了（4）、（7）两题的答案，但是对第（8）题仍没有其他的想法.

笔者随后将部分学生的解答、修改结果、稿纸上的思维印记进行了投影展示并提问：“函数从其奇偶性来判断可分成几类呢？”

众生：奇函数，偶函数，有的不是奇函数也不是偶函数.

师（追问）：第（8）题呢？

学生忍不住讨论起来.

笔者未作任何回应而是写出了以下函数：f（-x）=0=f（x），f（-x）=0=-f（x）.

学生恍然大悟：既是奇函数也是偶函数.

函数的类型也因此顺利得出.

笔者在学生回答之后没有立即评价，而是引导学生在发现中进行新的思考，这种在延时评价中的布白能够很好地促进学生的智力发展.

四、在质疑中布白

学生在质疑问难时往往会处于心理上的空白期，教师此时应该及时引导并让学生在“愤”、“悱”状态中进行探索、思考与释疑.

案例4 概率问题的教学.

学生虽然如此解题，但却对自己的解题心存疑虑，笔者于是给出了以下解题过程：

学生在教师给出的答案中很快明白自己错了，但究竟错在哪里呢？学生不得而知，笔者在解释过程中进行了布白以促进学生修正理解与答案.

师：怎么会想到加法公式的呢？

生：我认为题中事件是互斥事件.

师：什么是互斥事件呢？

生：互斥事件是指不可能同时发生的事件.

师：甲乙两人射中目标不可能同时发生吗？

师：概率反而变小了吗？

生：对啊，奇怪了？

师：独立事件又是什么呢？

生：某一事件发生的概率对另一事件发生的概率不会产生影响，这两个事件叫作独立事件，题中两人的射击事件是不会相互影响的呀，符合独立事件的特征啊，变小是怎么回事呢？

师：你再看看AB、P（AB）表示的都是什么呢？

生：AB表示A、B同时发生，P（AB）表示两人同时射中目标的概率.

师：问题要求什么？

生：各射击一次的命中概率.

师：待求概率事件的对立事件是什么呢？

教师围绕本题涉及的互斥事件、独立事件、对立事件等概念与公式对学生进行了设问布白，学生在弄清一个个问题的过程中也排除了心中的各种疑惑并获得了顺利解题.H