体积学习中的三种意识

■冯克永

空间几何体的体积问题是高中数学的重要内容之一,在高考中占有一定的比重。体积是考查空间想象力的有效载体,化归与转化的思想方法是破解体积问题的有效方法。下面介绍体积学习中的三种意识,以供同学们参考。

一、转化意识

当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者几何体不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,可采用“割”“补”的技巧(本质是等体积转化法),进而转化为易求解的几何体的体积。

例1 求棱长为a的正四面体ABCD的体积。

解：如图1,将正四面体ABCD补成一个正方体,则正方体的棱长为

图1

故所求的体积V=V正方体-4V三棱锥=

二、交汇意识

由于体积计算融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,它因而成为中学数学知识的一个交汇点和联系其他知识的桥梁,也为高考增添了一道亮丽的风景线。

例2 在棱长为1的正方体内,有两球相外切,并且又分别与正方体相切。

(1)求两球的半径之和。

(2)当两球的半径分别是多少时,两球的体积之和最小?

解：(1)解题时,可化立体图形为平面图形求解。如图2所示,长方形ABCD为过球心的对角面,其中AB=1,AC=3。

图2

设两球的半径分别为R,r,则R+

(2)设两球的体积之和为V,则

三、应用意识

学以致用,用以促学。同学们只有具有了应用意识,才能为知识的应用找到生长点,也才有可能进一步探索其应用价值。

例3 已知正方体ABCD-A"B"C"D"的棱长为1,求直线DA"与AC之间的距离。

图3

解：解题时直接寻找公垂线段较难,因此可转化为求平行直线与平面之间的距离。

因为AC∥面A"C"D,所以直线DA"与AC之间的距离可转化为点A到面A"C"D之间的距离,设其距离为h。由VA-A"C"D=VC"-A"AD,可得