立足教材 借题发挥

广东 林国红

立足教材，选编教材原题，生成教材变题，是高考命题的一个不争的事实，这体现了高考命题的公平性和基础性原则.所以教师要善于钻研教材，用“慧眼”去发现有典型性、可拓展性的例题或习题，善于作解后反思，方法的归类，规律的总结与技巧的揣摩，再进一步对例、习题进行挖掘、拓展、引申，扩大例习题的辐射面.这样可以优化学生的知识结构，培养思维的灵活性，同时也能提高复习的效率.

下面笔者以教材中一道例题为例，结合相应的高考题，说明立足教材，重视课本例、习题的重要性，并归纳一些相关的性质与试题，供读者参考.

一、例题呈现与分析

(人教A版选修2-1第69页例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长.

【分析】题目结构非常简单，题干也短.知识方面主要考查抛物线的相关概念，直线方程，直线与抛物线相交，弦长的相关运算；思想方面主要考查转化与化归，数形结合等思想.综合考查学生的逻辑思维、转化、推理论证及运算求解等方面的能力，例题的思维过程和运算过程较好地体现了能力立意的思想，体现了对解析几何的核心内容和基本思想方法的考查.

二、一题多解，关注例题的教学价值

【分析1】易知抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，所以直线l的方程为y=x-1，与抛物线联立，可以求得A,B两点的坐标，再利用两点间的距离公式可以求出|AB|.这种方法思路简单，但是需要较为复杂的代数运算.

【分析3】易知抛物线的准线为x=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2)，分别作AA1,BB1垂直于准线，垂足为A1,B1，由抛物线的定义可知，|AF|=|AA1|=x1+1，|BF|=|BB1|=x2+1，所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，再利用直线l的方程y=x-1，与抛物线y2=4x联立，消去y，得到关于x的方程，用韦达定理求得x1+x2代入即可.本法数形结合，巧妙利用抛物线的定义，运算量少，是抛物线中的常见解法.

限于篇幅，详细解答过程在此略去.另外，本题还有其他解法，也不再例举.

【评注】从不同的思维角度分析同一道题目，得到不同的解题方法，这种一题多解的训练，增加了题目涉及的知识广度，以一带多，减少了考查同样多的知识所需的题量.从数学知识的角度来看，通过解题体会知识之间的转化过程，发现知识的相互联系，构建知识网络体系.在教学中尽可能多的从深度和广度上挖掘教材习题涉及的数学内容，并引导学生对它们进行梳理、归类、比较和优化.这样，在学习基础知识、掌握基本技能的同时，能使学生将知识融会贯通，开阔眼界，活跃思维.

三、一题多变，关注例题的变式拓展价值

变式1.(2018·全国卷Ⅱ理·19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

变式2.(2014·全国卷Ⅱ文·10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，则|AB|=

( )

可以看出这两道高考试题的“母题”均是上述教材中例4.变式1(Ⅰ)将例4的条件与结论互换；变式2将例4的斜率改成倾斜角，本质是一样的.所以这两道高考题同样可以用例4的几种方法来解答，另外也说明在高考的备考中，适当加入高考真题的训练的必要性，特别是近五年的高考真题.

【评注】数学的魅力在于“变化”，在变化中求得重复，在重复中获取变化.有“变”才能“活”,变式、引申、推广是促进理解，研究问题的常用手段，恰当的“变式”能避免学生在低层次重复，能使学生多角度、全方位地理解知识，思维能力得到拓宽和加强.所以数学教学不仅要解决问题，还要注重问题的变式拓展，要重视教材习题的引领作用，引导学生积极探索一题多变、一题多用；不但要挖掘知识内容，而且要优化例、习题效能，这样既能巩固基础知识，开拓解题思路，又提高了发现问题、分析问题、解决问题的能力，同时达到举一反三，触类旁通的目的.

四、借题发挥，链接高考，总结性质，把握复习的侧重点

抛物线是高中数学的重要内容之一，特别是与焦点弦有关的题型，因其内涵丰富，变化多，能与直线的倾斜角、向量(定比分点)、三角形面积等知识交汇，且解题的灵活性大，已成为高考中的重要考点，倍受命题者青睐.

为了凸现考法的有迹可循，把握复习的侧重点，下面以教材中例4为“题根”，分类展示抛物线焦点弦的一些性质及近五年全国卷相应的高考试题.

设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦，A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为θ，O为坐标原点，如图.

例1.(2016·全国卷Ⅲ文·20节选)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ.

所以kFQ=kAR，即AR∥FQ.

例2.(2013·全国卷Ⅱ文·10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为

( )

A.y=x-1或y=-x+1

例3.(2018·全国卷Ⅱ理·19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

【解析】(Ⅰ)解法1：由题可知，F(1,0)，直线l的斜率不为0，故设直线l的方程为x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

因为|AB|=x1+x2+2=t(y1+y2)+4=4t2+4=8，且k>0，所以t=1，从而直线l的方程为x-y-1=0.

(Ⅱ)圆的方程(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

例4.(2017·全国卷Ⅰ理·10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

( )

A.16 B.14

C.12 D.10

例5.(2014·全国卷Ⅱ理·10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

( )

【性质5】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(此性质是人教A版选修2-1第81页“复习参考题”B组第7题)

例6：(2018·全国卷Ⅲ理·16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若∠AMB=90°，则k=________.

【解析】如图，设AB的中点为E，过点A,B,E分别作准线l:x=-1的垂线，垂足分别为A1,B1,H.设A(x1,y1),B(x2,y2)，E(xE,yE).

由梯形的中位线定理与抛物线的定义可得，

同时点M(-1,1)在抛物线的准线l:x=-1上，所以有|ME|≥|HE|.

【评注】①上述高考试题有些有多种解法，这里仅提供一种；另外抛物线各个性质的证明不是很难，限于篇幅，在此不再给出.②从上面试题可以看出，抛物线中与焦点弦有关的问题是高考的重要考点，所以复习时要突出知识主干，扎实基础，重视数学的基本能力与思想方法，重视知识的储备和方法的积累，不但要掌握解题的常规做法，还应该熟记一些结论，才有可能缩短思维的长度，达到事半功倍的效果.

五、结束语

教材是编者集体智慧的结晶，是数学知识和数学思想方法的重要载体，又是教师的“教”与学生的“学”的主要资源，承载着新课程改革的理念，渗透着创新精神和实践能力的培养，同时也体现着高考改革的发展方向.罗增儒教授说：教材是课程的载体，因此高考命题最具体、最方便的依据其实是教材.数学高考试题有“源于教材，高于教材”“题在书外，根在教材”的特点，年年岁岁题相似，岁岁年年意不同，但万变不离其宗，“宗”就是教材.教材中的例、习题是经过编者精心设计的，具有典型性的范例作用，大多都蕴含着深刻的背景、丰富的数学思想，很多高考题是教材例题、习题的组合、加工、引申、拓展和类比，这充分体现教材是高考试题之根所在.