对称问题的归类探析

陈乾美

对称问题是高中数学的重要内容，其实质是曲线上的点与点间的对称，抓住对称点间的内在联系，可将几何对称（图形语言）转化为代数坐标（相关点）及方程（符号语言）.

考慮到同学们刚接触解析几何，我们借助例题的形式来对对称问题进行简单归类，期待能给同学们一些启示.

一、点的对称问题

点的对称问题主要有点关于点对称和点关于线对称两类.

二、直线的对称问题

直线的对称问题有直线关于点对称和直线关于直线对称两类.

分析 （1）直线关于点对称，显然这两直线是平行关系且已知点到两直线的距离相等，这样，利用待定系数法即可轻松求解;

（2）直线关于一般直线对称，我们可以利用点关于直线对称的方法，任意从已知直线上取两点，求出关于一般直线的对称点后，利用两点式就可以得到对称直线的方程.

点评 直线关于点对称的解题方法虽然比较巧妙，充分利用了几何的性质，但是与第（2）问一比较，我们也很容易想到，还可以在直线上任意取点，求对称点后用两点式表示对称直线的方程.

求解直线关于直线对称的问题，方法还是很多的，从几何的思路出发，多思考，结合数形转化，就会豁然开朗.

三、利用对称求最值问题

利用对称求最值实质是用线段中垂线的性质进行问题转化.利用对称点转化为三点共线时，有两点之间线段最短，可求距离之和的最小值;由三角形的两边之差小于第三边，可求距离之差的最大值.灵活利用对称性求解最值能使解题过程简明扼要.

点评 此题灵活利用对称，借助图形很直观地将无从下手的最值问题简捷化，将代数问题几何化.

由以上3个例题的归类探究，发现对称问题的实质是求对称点和对称直线.求对称点的通法是先设对称点坐标，再用垂直、平分联立方程组求解.

求对称直线的通法：先设对称直线上任意P'点的坐标，再由垂直和平分求P'的对称点P的坐标，最后将点P坐标代入已知直线方程即可.

在学完直线与方程后，需将对称问题中蕴含的数学思想与方法进行适当的归纳总结，这样才能对该知识有一个完整的、系统的认识，解决对称问题时才能得心应手.