借助平面几何知识简化计算

袁卫刚

在直线和圆相关问题的处理上，借助直线和圆中的平面几何知识与结论，可以减少运算量，简化运算.

1.通过直线和圆的自身特征简化运算

证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点，

分析 在判断和落实直线与圆的位置关系时，将直线和圆的方程联立，通过判别式来判断是一个途径，但是計算比较繁琐，把问题转化成两个几何量——半径和圆心到直线的距离的大小关系，计算则相对简捷.如果能够通过方程挖掘直线几何方面的特征，则可以起到四两拨千斤的效果.

点评 此题通过联立方程组求解运算量非常大，通过计算圆心到直线的距离也需要求关于k的代数式的取值范围.上述方法来源于我们对直线方程和图形的认识.

分析 题中几何语言的理解和转换是计算的起点，决定着运算路径的简捷和运算量的大小.

点评 此题如直接求出点P关于直线x+y-3=0的对称点，再分别代人直线求解，运算量偏大，就容易出错.这里利用了圆的对称性，转化成直线x+y-3=0过圆心，求出a=-1.

2.利用平面图形的特征简化运算

许多平面图形本身就有很多特征，如果我们有这方面的意识，积极主动地加以挖掘利用，就可以帮助我们节省很多“成本”，简化运算，提高解题效率，

解析 直现与圆相交，弦心距、半径、半个弦长组成了一个直角三角形，可以作为解题的切人点.

点评 例3、例4中直角三角形中勾股定理的使用，以及对过定点的直线到另一定点距离的理解，从几何角度帮助我们大大地减少了计算环节和计算量，

对例3，我们还应注意到，当弦长最短时，它所对应的劣弧长也最短，对应的圆心角也最小;对例4，也能解决两切线的夹角的最值问题以及直角三角形面积的最小值问题.

3.利用平面几何的相关定理转化

初中所学平面几何知识中有很多定理及推论，这些结论也可以为我们在处理解析几何问题提供简捷的解题途径，帮助我们减少计算环节和计算量.

分析 考虑到A，B两点都不是定点，因此，不易直接求PA，PB的值.

点评 此题若设出直线方程，再联立方程组，利用弦长公式求解，运算量较大.若利用圆幂定理进行转化，运算就非常简单了.

分析 本题正常思路是得出以OM为直径的圆的方程，再求出过A（1，0）点且垂直于OM的直线方程，接着与圆方程联立求得点N的坐标，又题目中有参数t，计算繁杂，导致错误率激增.可以有意识地探讨平面几何方面的知识，加以应用，

点评 平面几何中的有关定理，已经浓缩了许多思考和运算步骤，有效加以运用，自然会起到简化运算的作用.

由此可见，解析几何中的运算是不可避免的，但一味去进行一些不合理的运算也是不明智的，这不仅不能提升数学能力，也会对自己的学习失去信心.只有通过各种途径，把本来只能进行繁琐的运算的问题，一步步通过转化，变为较为简捷的运算问题，才是解决此类问题最有效的策略.