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合理建系,解题事半功倍

2018-12-03戈晨曦

新高考·高一数学 2018年7期
关键词:对称性直角坐标合理性

戈晨曦

许多数学问题可以通过建立平面直角坐标系,用解析几何的方法来解决,其中,坐标法的使用和直角坐标系的合理建立是我们在解题,特别是在简化运算过程中要重点探讨学习的问题.

1.必要性——利用坐标法来认识解决问题

直角坐标系的建立,使得我们能够从几何的角度认识和解决问题,借助几何直观,能够快速准确地找到答案,避开了代数方法中相对繁琐的运算.同时还提升了我们思维的灵活性和开阔性.

2.合理性——利用图形中的对称性建系

分析 本題是实际应用问题,涉及与直线和圆有关的最短距离,充分利用图形中的对称性建立平面直角坐标系,结合几何图形规律,可以很快获解.

点评 利用圆的对称性建系,圆O的方程最为简捷;同时,B在正东方向,C在正北方向,两点位置实际上也存在着某种对称性,即关于直线y=x对称,分别以直线OB、OC为x轴、y轴建系,直线BC的方程可以用截距式,也是最简捷的方式,这样,运算过程中,由于圆与直线方程的形式的简捷,运算就得到了简化.

3.合理性——利用图形中已知长度的线段建系

分析 从题目中条件结构看,本题可以运用三角知识解决.如果同学们能够联想到课本上的相关结论,就可以辨析出点C的轨迹是一个圆.这样,建立直角坐标系来解决问题,就会有一番不一样的美丽风景.

点评 从建系的必要性上看,对照三角解法,在坐标系的支撑下,大大减少了运算.而且点C的轨迹是圆,圆心在x轴上,△ABC的面积取得最大值时的几何特征明显;从建系的合理性上看,把线段AB放在z轴上,有两个好处,一是A,B的纵坐标为0,二是A,B的横坐标互为相反数,在根式的化简中起到了简化运算的作用.

从上面的例子中可以看出,坐标法的合理使用,开阔了我们的解题思路,有效地减少了运算量,简化了运算,提高了解题效率,同学们在今后的学习中可以进一步总结和体会.

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