以简驭繁，简中有道

蒋智东

解析几何，顾名思义，即用代数的方法解析几何问题，解析几何是高中数学的经典内容，它的学习大致分成三个阶段，我们在高一阶段的《必修2》中学习的“平面解析几何初步”是第一阶段.

同时，直线和圆可以用方程表示（从形到数）;通过方程，我们研究了直线间的位置关系、直线与圆的位置关系等（用数研究形）.这些处理问题的方法的共性是都需要把几何问题代数化，先用方程表示直线和圆，然后再通过代数运算解决有关问题.

我们突出用坐标方法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题;第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.这与初中阶段我们直接借助几何图形来研究其形状、大小、位置关系不同.实际上我们是在用代数方法研究平面几何问题，另一方面，用代数方法研究问题也不是全新的、没见过的，初中已经将点和有序实数对建立了一一对应关系，只是没有系统地接触解析几何的思想方法罢了.在这里体现了初高中在知识上的衔接.

对于把几何问题代数化，同一个问题也可以从不同的角度去认识，例如：通过直线和圆的方程怎样判断它们的位置关系？我们总结出两种判断方法：

从几何角度来看，圆心到直线的距离与半径的大小关系刻画直线与圆的位置关系;这样把几何位置关系转化为距离的代数计算;

从方程观点来看，利用直线与圆的方程组是否有解研究曲线间的位置关系.

本质上说，两种方法都是用坐标法解决问题，

我们认为两种方法无所谓优劣，强调在掌握共性（方程的方法）的基础上注意个性（圆心距与半径的关系）.前者更好地挖掘了圆特有的几何特征，简化了代数运算，比联立方程组的方法快捷，可以看出用解析法解几何题时，对几何对象的几何特征的不同挖掘，转化的代数形式不尽相同，带来的解法是互异的，这在同学们后续的学习中体现得更明显，联立方程组的解法有着很好的认知基础和可持续发展性.大家可以根据求两条直线交点问题的经验，想到判断直线与圆的交点个数也可以通过研究方程组的解来解决.把形的问题（求直线和圆的交点）转化为方程组的实数解的问题（数的问题）.充分体现了解析几何中利用代数方法解决几何问题的思想方法，这个解法又成为后续研究直线与圆锥曲线位置关系的“通法”.

平面直角坐标系的建立，为几何问题的求解带来了方便，同学们在学习过程中也易于掌握.然而，某些几何问题用纯粹的代数方法来解决，思路虽简单，但运算往往相对较繁，导致很多同学有思路却苦于得不到正确答案，或看着繁琐的式子心生畏惧，不仅浪费了大量时间，还加大了心理压力，正因为这类问题难在“算到底”，所以注意减少运算量则成为迅速、正确解题的关键，

针对这一问题，解决的策略很多，我们可以在解决问题中逐渐加以认识和积累.

策略一：建好平面直角坐标系

数学是研究空间形式和数量关系的科学，即研究数和形的科学，而坐标系是联系数和形的桥梁，通过建立坐标系，可以把几何问题转化为代数问题，通过代数问题的求解得到几何问题的解.

在用“坐标法”解决几何问题时，理论上平面直角坐标系的建立是具有多样性的，但是有一点是可以肯定的：不同的建系会使点的坐标参数的个数呈现差异、直线和圆的方程存在繁简之别，而且会影响到后续的代数运算量.在不失一般性的前提下，可以充分利用图形中的特殊性，比如对称性、垂直关系等，或者是充分利用图形中已知长度或角度的线段所在直线作为坐标轴建立直角坐标系，就可以大大简化运算.

策略二：数形结合，以形助数

数形结合，以形助数，体现了初高中衔接.同学们在初中积累掌握了许多直线和圆方面的几何基础，这使得我们有了简化运算的契机.

1.对几何对象关系的认识可以帮助我们简化运算.

比如，在落实A，B两点关于直线l对称时，我们的运算对象是垂直、平分，对于平分，我们只需将AB的中点坐标代人对称轴l的方程中即可，这只是一次运算，否则，用距离公式就是二次运算，这样就简化了运算.

2.对求解对象的认识可以帮助我们简化运算.

比如，直线与圆相交产生的弦长、弧长，以及它们所对的圆心角问题都可以转化到一个由半径、弦心距、半个弦长组成的直角三角形中来求解和研究.由圆外一点向圆所引的切线长，也可以转化到由这点和圆心、切点组成的直角三角形中求解，在这些问题中，借助直角三角形的边角关系，可以简化运算.

3.对图形的认识可以帮助我们简化运算，

比如：直线mx+y+2m+1=0与圆O：x₂+y₂=8恒有公共点，求实数m的范围，

本题的优解为直线所过的定点（-2，-1）在圆上或在圆内即可.这就体现和突出了对图形的认识，充分利用了直线方程中参数对直线特征的作用，强调作图，而不是纯代数的推导.

还有，角平分线就是角两边的对称轴;圆外一点与圆上动点连线段的最值问题可以转化为这点与圆心连线段与半径的关系;圆上动点与和它相离的一条直线上的动点连线段的最值问题可以转化为圆心到这条直线的距离与半径的关系;两条直线将一个圆四等分，则四个交点构成一个正方形等等，

对几何特征的不同角度的挖掘，转化成的代数问题不同，解决问题的难易程度也不同.上述转化都可以大大简化运算，这需要我们在解题时加以分析体验.

几何要素（确定直线和圆的几何要素、确定直线与圆位置关系的几何要素）以及在几何要素引导下的代数变形，最终要回到几何上，体现对几何问题的研究，

策略三：设而不求

设而不求是指在解题时，可根据题意设出一些辅助元（参数），在求解的过程中，不必求出这些辅助元（参数）的值，仅把它作为桥梁或过渡元素，巧妙地消去这些辅助元（参数），达到降低难度的目的.在解决解析几何问题时为优化运算而常常采用这种方法.

策略四：特殊化思想

把研究对象特殊化是探究数学问题的重要手段.在解答数学问题时，特殊化方法常常表现为将一般问题特殊化处理或从特殊出发挥索解题方向，以获得问题的解决，它是一种以“退”为“进”的解题策略.用问题最特殊情形的解来得到一般问题的解，因此在选择题和填空题等客观问题中一定要特别注意特殊化思想的应用.一些定点、定值类问题常可用特殊化解题，总之，就是从问题的简单化、特殊化人手解答，尤其是当我们解题束手无策时一定不能忘了特殊化思想这个“大救星”.

从形式上看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题经过不同的特殊化處理会得到多个不同的特殊化命题.因此，特殊化思想的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题，因为，较为理想的特殊问题是极易解决的.

总之，对于“平面解析几何初步”中的直线和圆，无论是其本身的特征，还是它们之间的位置关系，我们都可以用代数运算的方法来加以研究落实，代数方法（运算）是本章的重要方法.上面我们从宏观上比较笼统地给同学们提出了一些关于简化运算的策略，大家可以在下面的文章中来具体学习体会这些方法.