用特殊化法解一类数学问题中的逻辑漏洞

张晓斌 潘建辉

在数学问题解决中，人们常会通过将一般问题具体化、特殊化的方式，来找到解决问题的突破口，从而求得问题的答案. 这就是数学问题解决中的特殊化法. 然而，人们在使用特殊化法时，很容易犯一个逻辑错误. 这个错误是什么？我们又该如何纠正呢？

一、用特殊化法解数学问题时导致的矛盾

三、 对特殊化法的完善

（一）待定系数法与特殊化法的比较

通过对特殊化法与待定系数法的比较发现，在解答例1和例2这类问题时，特殊化法，一是没有对问题是否有解做出判定，二是在问题无解的情况下，会得出错误的结论. 因此，用特殊化法来解决这类问题，是有逻辑漏洞的，或者说是不完整的. 若用待定系数法，则能很好地解决这个问题.

然而，待定系数法也有其不足之处：一是在设定待求函数前，必须正确分析待求函数所属类型. 二是从未知函数所满足的已知表达式中，未必能事先分析得知未知函数的类型. 如从f（x-y）=f（x）+f（2y）-y（2x-y+1）的表达式中，就无法判定f（x）是几次函数，这就难以用待定系数法来解决. 三是与特殊化法相比，待定系数法的解答过程比较烦复.

于是，我们自然会产生这样的想法：解决类似于例1和例2的问题，除了可用待定系数法之外，是否还存在其他可行的方法？若是，又是否存在比待定系数法更好的方法呢？不妨，我们对特殊化法重新进行审视，看是否能由此找到答案.

（二）对特殊化法的完善

根据上面的讨论知道，特殊化法的缺陷在于，用这种方法无法知道得出的结论是否正确. 为此，我们可在原有步骤的基础上，增加 “对解的检验” 这一步骤. 我们希望，经检验正确的，刚好是原问题的解；经检验不正确的，一定不是原问题的解，并且此时还能据此判定原问题一定无解. 若事实确如我们所期待的那样，那么增加了检验步骤的特殊化法，对于问题无解的情况，也能很好地解决了.

下面，我们分别就例1和例2所得到的结果进行检验.

故函数f（x）=x2+1不能使得f（x-y）=2f（x）-y（2x-y）-1对任意实数x，y都成立. 所以，f（x）=x2+1也不是原问题的解. 另外，根据待定系数法对例2的解答知，此时原问题无解. 因此，对以上两例检验的结果刚好和前面的预期相吻合.

然而，这种吻合是偶然的吗？为什么用特殊化法解例1和例2这类问题时必须检验？为什么经检验正确的就一定是原问题的解，不正确的就一定不是原问题的解，并且此时原问题就一定无解呢？下面，我们就对它进行逻辑分析.

四、完善后的特殊化法正确性的逻辑依据

（一）原特殊化法的逻辑漏洞

这说明，“f（x）在R上成立”是使得“命题（1）成立”的充分条件. 因此，我们所要寻找的是使命题（1）成立的充分条件. 但是，用特殊化法在假设命题（1）成立的情况下，将问题特殊化后去求f（x）的表达式，这是在执果索因，找到的是命题（1）成立的必要条件. 因此，原特殊化法的逻辑漏洞在于：我们需要找的是使题中条件成立的充分条件，但找到的却是必要条件. 此时，解答者又往往错误地将其当成充分条件. 这就是人们使用特殊化法时，很容易犯的一个逻辑错误.

（二）对原特殊化法中逻辑漏洞的弥补

怎么来判断用特殊化法得到的“f（x）的表达式”是不是“命题（1）成立”的充分条件呢？我们可以通过检验来判断，就是在承认“f（x）的表达式在R上成立”的前提下，看能否证明命题（1）也是成立的. 即是看，由“f（x）的表达式在R上成立”是否能推出“命题（1）成立”. 若能，则我们找到的既是命题（1）成立的必要条件，又是充分条件，即命题（1）成立的充要条件. 此时，函数的表达式就一定是原问题的解；否则，若不能由“f（x）的表达式在R上成立”推出“命题（1）成立”，则找到的只是命题（1）成立的必要而非充分的条件. 此时，函数的表达式就一定不是原问题的解.

（三）判断原问题无解的逻辑依据

为什么说，在经检验得出“函数的表达式不是原问题的解”的结论后，就能进一步得出“原问题无解”的结论呢？这是因为：用特殊化法在特殊情况下，由命题（1）得到的“f（x）的表达式在R上成立”一定是“命题（1）成立”的必要条件. 一方面，根据逻辑原理，既然它是必要条件，那么当这个表达式不成立（或求出的是其他表达式）时，命题（1）一定不会成立. 另一方面，又因为检验的结果告诉我们，当该函数表达式成立时，它也不能使命题（1）成立. 这就是说，无论该函数的表达式是什么，都不能使得命题（1）成立. 即不存在使得命题（1）成立的函数表达式. 所以，原问题无解.

总之，在解答例1和例2这类数学问题时，若用原特殊化法解答，则推理有漏洞，步骤不完整，答案不可靠. 为此，我们可通过增加“对解进行检验”的步骤来解决，并且通过严格的逻辑分析得知：“经检验，若求得的函数表达式满足题中所有条件，则该表达式就一定是原问题的解；若该表达式不能完全满足题中的条件，则它就不是原问题的解，且此时原问题一定无解. ”