三角函数图像的平移和伸缩

■陈 倩

函数y=Asin(ωx+φ)+k的图像与函数y=sinx的图像两者之间可以通过变化A,ω,φ,k来相互转化。A,ω影响图像的形状,φ,k影响图像与x轴交点的位置。由A引起的变换称为振幅变换,由ω引起的变换称为周期变换,它们都是伸缩变换;由φ引起的变换称为相位变换,由k引起的变换称为上下平移变换,它们都是平移变换。三角函数图像变换的两种方法为先平移后伸缩和先伸缩后平移。

1.先平移后伸缩:y=sinx的图像→(φ＞0时)向左平移|φ|个单位长度或(φ＜0时)向右平移|φ|个单位长度→y=sin(x+φ)的图像→(ω＞1时)横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)或(0＜ω＜1时)横坐标伸长

2.先伸缩后平移:y=sinx的图像→把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)→y=Asinx的图像→(ω＞1时)横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)或(0＜ω＜1时)横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)→y=Asinωx的图像→(φ＞0时)向左平移个单位长度或(φ＜0时)向右平移个单位长度→y=Asinx(ωx+φ)的图像→(k＞0时)向上平移|k|个单位长度或(k＜0时)向下平移|k|个单位长度→y=Asin(ωx+φ)+k的图像。

例1 将函数y=sinx的图像通过怎样的变换可得到函数y=2sin(2x +)+1的图像?

(方法2)把y=sinx的图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sinx的图像;将所得图像的横坐标缩小到原来的,得到y=2sin2x的图像;将所得图像沿x轴向左平移个单位长度,得到y=2sin[2 (x +)]=2sin(2x +)的图像;把所得图像沿y轴向上平移1个单位长度,得到y=2sin(2x +)+1的图像。

说明:无论哪种变换,都是针对自变量x而言的。如由y=sin2x的图像向左平移个单位长度,得到的函数图像的解析式是y=sin[2 (x +)]。对于复杂的图像变换,可引进参数求解,如下面例2。