求三角函数的单调区间易错点剖析

■华腾飞

在求三角函数的单调区间时,由于对概念和法则理解不清、把握不准,常常会导致错解的发生。下面举例分类剖析,希望能引起同学们的注意,以避免此类错误的发生。

一、忽视基本函数致错

剖析:要参照基本函数y=sinx,就必须把自变量x的系数化为正数,这是因为曲线y=sin(-3x)已由曲线y=sinx经过了沿x轴的翻折变换。

注意:上述两种解法的结果看似不同,这只不过是形式不同而已,其实质上是相同的。

二、忽视函数的定义域致错

错解:因为对数函数y=lgz是单调递增函数,所以只需求出z=sin(3x -)的单调递增区间即可。

剖析:求复合函数的单调区间时,不能忽视函数的定义域。

三、忽视复合函数的单调区间致错

四、忽视题设条件致错

剖析:由题意可知,只需求出区间(-2π,2π)内的递增区间即可。

五、忽视参数的取值符号致错

例5 讨论函数y=acosx+b的单调区间。

错解:当函数y=cosx单调递增,即x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,所求函数单调递增;

当函数y=cosx单调递减,即x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时,所求函数单调递减。

剖析:对含参数问题,若参数的取值符号不确定,则必须对参数进行讨论。上述解法是由于想当然地认为a＞0导致错解的。

正解:当a=0时,y=b为常函数,这时没有单调区间;

当a＞0时,所求函数的递增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z),递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z);

当a＜0时,所求函数的递增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),递减区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z)。