一元二次方程的根与系数关系的应用

四川省资阳市雁江区第二中学 肖学兵

一、一元二次方程的根与系数关系的研究意义

针对一元二次方程根与系数的关系的知识点，数学新课程标准限定其为了解的知识，但是随着学生不断深入地学习，很多数学内其具有的逻辑知识能够全面提升学生的综合素质，能够帮助学生通过学习数学知识，建立逻辑思维能力，特别是一元二次方程的根x1，x2…xn与系数 a0，a1…an之间的数量关系，又因为其是韦达定理在 n=2 时的特例，所以，通过学习和掌握简单的一元二次方程的根与系数的关系，对后续学习韦达定理的帮助不言而喻。

教师在教学过程中，针对初中数学教学，要不断培养学生的数学逻辑思维能力，通过加深对数学知识的认识，能够使其更加灵活地解决许多问题，特别是初中阶段的数学是对高中数学的递进。针对一元二次方程的学习，要深入探究根与系数的关系，掌握好这个内容，才能更好地解决相关问题，使得学生的解题思路更加灵活，能够使得学生进一步理解数学知识。一元二次方程知识的部分内容是一个非常重要的知识点，有着承上启下的作用。因此，教师要重视教育教学工作，更应该倍加重视“根”与“系数”之间的内在联系，将“根”与“系数”的知识进行拓展，深入研究好相关知识，才能促进学生素质能力的提升。

二、一元二次方程的根与系数关系的应用

在初中数学中，虽然一元二次方程的根与系数关系是选学的内容，但是很多知识点频繁出现，很多该部分的知识点在竞赛及中考题中频繁出现。学生在学习的过程中很多内容涉及该题目，但是由于学生在解题的过程中难以理解很多隐藏条件，使得学生的解题思路闭塞，或者解题方法出现传统模式的局限，学生的解题思路不够明确。一元二次方程的根与系数的关系能够广泛地拓宽学生的思路，根据已经知道的一元二次方程的一个根，求出另一个根及未知系数，构造两个实数为根的一元二次方程，不解方程而判断两根的性质，解决有关综合问题等。

研究一元一次方程中根与系数的关系，如一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x1，x2，那么，通过对该公式的了解以及一元二次方程根的判别式，逐步构造一个一元二次方程，注意讨论二次项的系数，本文就列举了以下作为实际应用案例，例如：已知实数 x、y、z 满足（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，求证：x+y=2z 。该题的解析如下：根据题设内容，如（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 的左边，再与一元二次方程根的判别式 =b2-4ac比较，可构造一个关于 m 的一元二次方程：（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0，该方程的 =b2-4ac=（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，所以这个一元二次方程有两个相等的实数根。当y-z≠0 时，因为一元二次方程的各项系数之和为零，即（y-z）+（x-y）+（z-x）=0，所以，一元二次方程（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0 的根 m1= m2=1，再根据一元二次方程根与系数的关系可知：∴x+y=2z ，运算分析后当y-z=0 时，把 y=z 代入（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 得 x=y， ∴ x+y=2z 。

本题的解题方法是根据题设条件和一元二次方程根的判别式=b2-4ac，构造对应的一元二次方程：（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0； 第一个解是当一元二次方程的二次项系数 y-z=0 时，把 y=z 代入（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 得：x=y，∴ x=y=z， ∴ x+y=2z 。第二个解是当一元二次方程的二次项系数 y-z≠0 时，因为一元二次方程的各项系数之和为零，即（y-z）+（x-y）+（z-x）=0，所以，一元二次方程（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0 必有一根为 1，又因为这个一元二次方程根的判别式 =b2-4ac= （x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，所以这个一元二次方程的根 m1= m2=1，再根据一元二次方程根与系数的关系可知m1m2=1，即

这类问题中的题设条件与一元二次方程根的判别式 =b2-4ac 的形式相同，解答时，构造出对应的一元二次方程，但需要讨论二次项的系数。

综上所述，可以看出一元二次方程是初中数学的教学重点，需要学生在不断地应用过程中灵活掌握，注重解题思路的灵活性，注重针对该部分知识内容的学习，从而培养学生全面的逻辑思维能力。教师在此过程中要注重考虑学生的主体性，积极调动学生参与解题，以提高学 生的数学素养。希望教育工作者引起对该课程内容的重视，不断对数学知识进行深入的探讨和研究，从而促进课程改革的顺利进行。

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