高中数学不等式解题技巧教学

云南省广南县第二中学校 王家恒

在高考试题中，不等式经常与数列或导数以最后压轴大题的形式出现，这就导致学生在心理上对不等式内容产生畏惧，同时在填空和选择题中，也会占据不小的比例。有鉴于此，有效提升学生的不等式解题水平，就成为广大数学教师义不容辞的责任。

一、求函数的极值

基本不等式在高中数学中占据着极其重要的地位，试题考查形式灵活多变，公式能够搭建起和与积之间联系的“桥梁”，但是在考试过程中，学生却因为忽略了不等式成立的条件或不会运用相关的技巧构造基本不等式，从而出现严重的失分现象。教师在授课中应当注重培养学生通过拆、拼、凑等技巧来构造基本不等式，最终求出正确的答案。

例1：（1）已知求函数f(x)=2x-1+的最大值。

解析：由题意可知，2x-3＜0，那么就需要调整不等式的符号，不是不等式，故而需要对2x-1进行拼凑，得到相关的定值。

（2）求的值域。

解析：乍一看，本题似乎无法运用均值不等式，但是仔细分析，我们不妨将分子项进行配方，从而求出含有（x+1）的项，最后再利用基本不等式进行求解。这道题就是使用了构造基本不等式的技巧，教师需要指导学生“凑”出不等式，求出最后的正确答案。

二、含参数不等式的解法

在参数不等式部分，将数换成字母，就会加大试题的考查难度，在此情况下，学生需要根据参数来进行分组讨论，从而解答不等式。在讲授此类题目时，教师应当注重培养学生的分类观念，使他们按照分类的思路来解决数学问题，帮助其在分组讨论时做到不重、不漏，牢牢拿住该拿的分数。需要注意的是，不等式解集要按照参数来分类写出，不能够进行相应的合并。

例2：（1）解关于x的不等式：x2-（a+a2）+a3＞0（a∈R）

分析：不等式可以化为（x-a）（x-a2）＞0，则在不等式解集中应当分类讨论a与a2哪个大。

①当a=0或1时，存在a=a2；

②当0＜a＜1时，存在a2＜a；

③当a＜0，a＞1时，存在a2＞a。

（2）解关于x的不等式：|x2+2x-3|＞a。

学生做题时，经常会发生这样的错误：| x2+2x-3|＞a可化为x2+2x-3＞a或x2+2x-3＜-a。

当x2+2x-3＞a时，解得x＞-1+

当x2+2x-3＜-a时，解得

在本题中，学生并没有对a进行讨论，从而陷入了思维的混乱状态。对于绝对值不等式，在去掉绝对值符号后，由于a为参数，因此必须对a进行分类讨论，学生需要考虑到0≤a＜4和a≥4两种情况。

（3）解关于x的不等式ax2+2x+1＞0（a∈R）。

在解含参数的一元二次不等式时，需要优先讨论二次项系数，然后再对“∆”进行讨论。如果有必要的话，还要对根进行大小的对比。含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。

三、线性规划问题中的不等式解法

不等式与其他知识点的结合中，最容易出现的就是与线性规划相结合的试题，这类题型的知识点多，其中出现频率最高的是求解函数最值。学生在学习过程中要完全掌握这部分的知识，保证拿到综合题的分数。

例3：某机械类工厂总共生产A种和B种产品，分别需要甲、乙两种钢铁材料，制造一件A需要钢铁甲1.5kg，钢铁乙1kg，总计10个工时；制造一件B需要钢铁甲0.5kg，钢铁乙0.3kg，总计6个工时；制造一件A的纯利润为700元，制造一件B的纯利润为300元。现在该工厂有甲种钢1.5吨，乙种钢0.9吨，则在3000工时之内，品种A和品种B的利润之和的最大值为_____。

这道题需要学生列出以下公式：设制造品种A为x件，制造品种B为y件：

①1.5x+0.5y=1500（制造品种A、B消耗甲材料）；

②x+0.3y=900（制造品种A、B消耗乙材料）；

③5x+3y≤3000（制造品种A、B总时间不超过3000工时）。

通过联立方程，学生解答出最终正确的答案，深入掌握解题的方法。不等式的应用题在高中试题中非常常见，教师要总结出一般的解题思路，在一般的基础上再进行问题的解答，为获取考试的高分打下坚实的基础。

总之，不等式的运用需要学生在理解之后，在深入掌握基本知识的基础上灵活运用，针对学生经常出错的地方，教师应当认真整理常见的错误，使每个人都能掌握解题技巧，从而正确、灵活地运用数学思维来解答数学问题。

[1]陈超.高中数学不等式教学策略研究[D].内蒙古师范大学，2016（05）.

[2]钱煜.给予高考试题的高中数学不等式教学研究[J].语数外学习（高中数学教学），2014（12）.