例析“放缩法”证明不等式的解题策略

杨西龙

近年来在高考解答题中，常滲透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点，有极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性，“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求，因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递，下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助.

1 添加或舍弃一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大;多项式中加上一些负的值，多项式的值变小，由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的，本题在放缩时就舍去了2^k—2，从而是使和式得到化简.

2 先放缩再求和（或先求和再放缩）

此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和，若分子、分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可.

3 先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

4 放大或缩小“因式”;

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处.

7 利用基本不等式放缩

8 先适当组合、排序，再逐项比较或放缩

以上例析了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体，在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果，但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象，因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要，要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点，掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，希望读者能够进一步了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.

参考文献

[1]周书琴.例谈证明不等式的常用方法[J].中学数学， 2017 （21）：86-88

[2]郭龙祥.关于数列不等式放缩的一点认识[J].中学数学，2017 （21）：92-94