由一道习题的讲评引发的思考

☉浙江省温州市瓯海区外国语学校 陈乘风

习题课教学是初中数学最常见的一种课型，如何优化习题讲评，借助于习题讲评提升学生的数学核心素养呢？本文借助于具体的实践谈一谈笔者的思考，望能有助于初中数学习题课教学实践.

一、习题呈现与解析

习题：一矩形纸片OABC如图1所示，若OA=7，OC=5，在BC边上取一个动点D（图中未标出），现将△OCD沿直线OD折叠，若顶点C折叠后落于直线l：y=x+7上时，对应点记作E、F点，若顶点C折叠后的对应点落于OA边上，将其记作G点.

（1）求E、F两点的坐标.

（2）求经过G、E、F三个点的抛物线的解析式.

（3）若点C折叠后的对应点落于直线l上，求CD的长度？

（4）在问题（2）中，抛物线上是否存在一点P，使△EFP成直角三角形？如果你认为存在，则请求出P点的坐标？如果你认为不存在，请给出你分析的理由.

解析：（1）过点E作EM⊥x轴于点M.如图2所示，则OE=OC=5.设点E（x，-x+7），可得EM=-x+7，OM=x.在Rt△OME中，OM2+EM2=OE2.则x2+（-x+7）2=52，解得x=3或x=4.当x=3时，y=-x+7=4；当x=4时，y=-x+7=3.

则E、F两点的坐标为E（3，4）、F（4，3）.

（2）设经过G、E、F三个点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.将E（3，4）、F（4，3）、G（5，0）代入，可得：

（3）若点C折叠后落在点E上，如图3，设点C与动点的距离CD=m.过E作ME⊥x轴于点M，交BC于点N.

由E（3，4），可知CN=3，EM=4，EN=5-4=1，DN=3-m，DE=CD=m.

在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2，即m2=（3-m）2+12，解得

（4）设抛物线上存在一点P，使△EFP成直角三角形，设点P的横坐标为x，则其坐标为（x，-x2+6x-5）.

若PF是斜边，作FH⊥EM于点H，作PK⊥EM于点K，如图4所示.

同理，若PE是斜边，可求得点P（1，0）.

若EF是斜边，以EF为直径作一个圆，则点P在圆上，但该圆与抛物线的交点只有E、F，因此也就不存在能够使△EPF为直角三角形的点P.

二、该习题的讲评策略

这道题如何讲评才能起到良好的教学效果呢？笔者认为可以从如下几个方面入手.

1.在实践中建模

这道题在学生审题的过程中，如果缺乏空间想象能力，往往会有诸多困惑，但基本上都集中在点C折叠后的对应点C′上.

困惑1：△OCD沿OD折叠时，点C折叠后的对应点（可以将其记为点C′）是否一定落在直线l：y=-x+7上？分析影响其落在直线上的因素有哪些.

困惑2：点C′的位置存在几个？

如何解惑呢？最好的办法就是让学生实验，动手实践自主定位点C′.

实验：请每组学生提供一张矩形白纸，要求学生经过O点自主折叠矩形一角，如图5所示，然后在学生实践的基础上，采用提问的方式进行建模.

问题1：你在折叠白纸时遇到了什么问题？（笔者在巡视中发现，有相当一部分学生迟迟不敢下手折叠白纸，询问后发现，他们不敢下手的原因是事先没有约定好沿什么方向折叠.这的确是一个问题，因为缺失了该条件，折出来的折痕就会不同.）

问题2：折叠好后，相互之间比较一下，看一看大家折的有什么异同.（所有学生折出来的结果有一点是相同的，即折痕均经过点O，其他就不一样了，正因为有这样的差异，可以及时地引导学生进行多种折叠方法的探究与比较.）

问题3：（巡视中寻找目标学生）请你谈一谈在过点O折叠矩形一角这一实验过程中有怎样的感悟.

生：我们尝试了很多种折叠，我们发现折叠的过程相当于将线段OC绕点O进行旋转，所以C点肯定落在以O为圆心的一个圆周上，圆的半径为OC（如图6）.

在学生有了上述实践与感悟后，再一次引导学生回到最初两个困惑的讨论中来，并在讨论中有新的发现：点C和直线l的位置关系的即为直线和圆O的位置关系，同时圆心与直线的距离d和（rOC）之间的大小关系又对直线和圆的位置关系有影响，这是解决此题的突破口所在.根据题意我们可以求得，继而判断直线和圆存在两个交点，如图7所示，设交点为E、F.

找到了定点E、F，AE、AF就必然为定值.如此一来，我们探究的问题又可以进一步转化为定点E、F到矩形OABC的顶点、边界、静态线段距离的问题探究.由此作图，如图8所示，在矩形OABC中，现经过顶点O的某一直线折一个“拐”并使点C的对应点落在边MN上.

引导学生在图8中找到相关已知线段，然后对图形进一步提炼得到图9所示模型，完成问题的转化：如图9所示，在矩形OMNC中，过点O沿直线OD折叠一个角，D点的对应点恰巧落在直线MN上的E点，且已知EN=1，求CD的长.如此转化后，熟悉的翻折模型自然浮现在学生大脑，原有认知被有效唤醒：这是折叠图形使其一个角的顶点的对应点位于某条边所在直线上的问题，该问题学生是熟悉的，运用勾股定理即可完成求解.

2.在直观想象中建模

数学问题的解决需要学生建模，除了上述在实践过程中完成建模和问题的转化，我们还应该更多地引导学生进行直观想象和科学思维，运用数学思想方法完成问题的简化.

例如，第（4）个问题我们除了采用上文解析中的方法，借助直观想象通过数学建模的方式也可以解决，而且问题的解决会变得更简单、直观.

从△EFP为直角三角形的可能性出发，根据直角顶点的差异可以分成三种类型讨论：

情形1：点E为直角顶点，作FH⊥EM于点H，并延长FH与抛物线交于点P，如图10所示，从已知条件出发，再观察图形，可得△FHE为等腰直角三角形，得∠FEH=45°.

再结合抛物线的对称性，可得∠FEH=∠PEH=45°.则∠FEP=90°，所以点P满足条件，点P和点F轴对称，则F（4，3），所以P（2，3）.

情形2：点F为直角顶点，我们可以过点F作FP⊥EF，并与抛物线相交于点P′，再借助想象，借助勾股定理模型、勾股定理的逆定理最终推出△P′EF是直角三角形，得到P（1，0）.

情形3：将P作为直角顶点（解法与前文解析相同）.

总之，在数学问题的解决过程中，我们要尽可能调动学生多个感官的参与，在习题讲评的过程中，应该注重思维可视化引导，发展学生直观想象、猜想和推理的能力，在解决问题的过程中感受数学的形态美、逻辑美，发展学生严谨地分析问题、解决问题的态度，在不断探索问题解决方法的过程中完成数学核心素养的提升.