问题驱动引出新知，题组变式追求开放——以“等腰三角形的判定”教学为例

☉江苏省江阴市敔山湾实验学校 赵 艳

等腰三角形的性质与判定是平面几何教学的重点，也是后续平面图形学习的重要基础.很多教学研讨多集中在等腰三角形的第1课时（侧重于等腰三角形的性质，如“等边对等角”“三线合一”等），对等腰三角形的判定开展课堂教学研讨还不太多见.本文整理笔者近期开设的一节“等腰三角形的判定”的研讨课，并给出教学立意的阐释，供研讨.

一、“等腰三角形的判定”教学流程

教学环节（一） “补图”情境，引入新知

问题情境：如图1，△ABC是等腰三角形，AB=AC.若它的一部分被墨水污染（如图2），只留下底边BC和一个底角∠C，有没有办法把原来的等腰三角形ABC补全？

教学组织：先安排学生独立思考、作图，然后在小组内交流，再安排小组选代表到黑板前讲解他们的典型方法.预设两种典型画法：

方法1：如图3，先用量角器量出∠C的度数，再以BC为一边，B为顶点，画出∠B=∠C，与∠C的边相交得到顶点A.

方法2：如图4，作边BC的垂直平分线与∠C的一边相交得到交点A，连接AB，可得△ABC.

教学组织：组织学生对上述两种方法进行证明，通过一定的追问，展示不同的方法，比如，对于方法2，可直接根据线段垂直平分线的性质得出AB=AC.方法1，本质上就是“已知三角形中两个内角相等，则该三角形是等腰三角形”，可以作∠BAC的平分线，或者作AH⊥BC于H点，利用三角形全等可证出AB=AC.进一步小结归纳出“等角对等边”的判定方法（在黑板的主板区写出定理的文字、符号表达）.

教学环节（二） 典例讲评，运用新知

例1 如图5，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E在边BC上，当BD=CE时，求证：AD=AE.

教学组织：学生独立思考后，由获得思路贯通的学生讲解他们的证法，预设有两种思路.比如，由∠B=∠C→AB=AC→△ABD △ACE→AD=AE；或者作AH⊥BC于H点，先证△ABH △ACH→BH=CH→DH=EH→AD=AE.当学生使用了新定理之后，注意安排追问不同学生这一步的理由“等角对等边”，起到运用定理、加深理解的作用.

例2 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

教学组织：这是一道文字命题，先让学生想清题设是什么，结论又是什么，在此基础上让学生写成已知、求证的形式.预设如下：

已知：如图6，AE平分三角形ABC的外角∠DAC，且AE//BC.求证：AB=AC.

证明时要鼓励和引导学生将条件转化到证出∠B=∠C，从而运用定理“等角对等边”实现问题解决.讲评之后预设两个变式问题，如下：

变式1：如图6，△ABC中，AB=AC，AE平分外角∠DAC，求证：AE//BC.

变式2：如图6，△ABC中，AB=AC，AE//BC，求证：AE平分外角∠DAC.

安排学生在小组内交流证明思路，再展示各自的证明，教师点评时，注意指出这个经典问题解法中的“知二推一”.

教学环节（三） 课堂小结，拓展性质

小结问题：本课所学等腰三角形的判定“等角对等边”与上节课所学等腰三角形的性质“等边对等角”有何关联？

拓展问题：在上节课，我们由“等边对等角”曾拓展研究过“大边对大角”；反过来，现在我们也可思考“大角对大边”是否也成立.如何证明？

证明预设：先把问题转化为已知、求证，再结合图形证明.

已知：如图7，在△ABC中，∠C＞∠B.求证：AB＞AC.

证明思路：考虑在较大角∠ACB内部作∠DCB=∠B，交AB于D点.

由“等角对等边”得DB=DC.再把目光转到△ACD，有AD+CD＞AC，代换为AD+BD＞AC，即AB＞AC.问题获证.

教学环节（四） 变式题组，课堂检测

题1：如图9，△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB.小明判断图中△ABC、△IBC都是等腰三角形.请判断小明的判断是否正确，并说明理由.

题2：如图10，△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，过点I作DE//BC分别交AB、AC于点D、E.求证：DE=BD+CE.

题3：如图11，△ABC中，AB=8，AC=6，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，过点I作DE//BC分别交AB、AC于点D、E.求△ADE的周长.

设计意图：变式题组既有效检测了本课所学新知，同时将一组典型问题进行了多角度的变式探究，让学生从特殊走向一般，加深理解这类问题.

二、教学立意的进一步阐释

1.精心选编情境问题，在解决问题时引出新知

对于等腰三角形的判定教学的引入，很多老师都是基于“几何研究基本套路”设计教学情境的，比如，将等腰三角形的性质“等边对等角”逆过来思考，是否存在“等角对等边”？从而引出新知探究并证明“等角对等边”也是真命题，归纳为判定定理.这样的引入有几何味道，是值得肯定的.作为同课异构，倡导引入方式的多样化，我们在上面课例中给出的是基于一个问题情境驱动引出新知的过程，兼有“激趣”和引出新知的功能，也是精心选编而成的，学生容易想出补图的解决方法，在深究背后依据时引出新知（定理“等角对等边”）.

2.重视习题变式生长，追求“做一题、会一类、通一片”

我们知道，变式教学是中国传统或特色，经由顾泠沅教授等研究者的实践、梳理与传播，变式教学得到广泛运用.本课另一个特点就是注意对例题的变式与拓展，以题组形式渐次呈现例、习题.通过对一些经典问题的变式与拓展，追求了让学生从做一题到会一类再到通一片的高效教学效果.当然，对例2来说，通过对条件、结论进行不同的置换，得出的都是真命题，这种训练不但对本课知识有价值，同时让学生感受到数学命题的证明过程中经常会收获“知二推一”的解题经验.这方面的经验，将来在九年级圆的学习中会有更多的体会，比如，垂径定理及其推论，切线长定理及其推论，等等.

3.践行“开放式教学”，基于知识关联适当拓展

郑毓信教授多年来一直倡导“开放的数学教学”，认为不能满足于开放题的教学，而应该用好开放题带动开放的数学教学研究.我们认为，开放的数学教学不能只是用形式上的开放题或开放式设问来体现，更多的要体现开放式教学的内涵与理念，比如，上面提到的例题的变式改编与题组呈现也可看成开放式教学的一种表征形式，因为它不只是一题接着一题往后推进课堂，而是基于变式理论让题组之间关联着，这本身就渗透着一种开放的理念，即不同的习题之间也是有某些联系的，要善于发现这些试题之间的“同与不同”.另外，为了追求一定的教学深度，我们还应该基于知识关联适当拓展提升，比如，上面课例在小结阶段，就将“等角对等边”拓展到“大角对大边”的研究，而且添加恰当的辅助线之后，又可转化为“等角对等边”实现问题转化.